Решение задач с помощью систем уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
Предлагаю вам повторить решение задач с помощью систем уравнений способом подстановки на примере задач № 1099, 1103 и 1105 из 8-го издания учебника по алгебре для 7-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского.
Задача 1099:
В фермерском хозяйстве под гречиху и просо отведено 19 га, причём гречиха занимает на 5 га больше, чем просо. Сколько гектаров отведено под каждую из этих культур?
Решение:
Пусть под гречиху отведено x га, а под просо – y га. По условию задачи всего было засеяно 19 га, поэтому x + y = 19.
Известно, что гречиха занимает на 5 га больше, чем просо. Значит x – y = 5.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Решить эту систему можно либо способом подстановки, либо способом сложения.
В данном случае способ сложения более удобен, так как сразу видно, что 2x = 24 и это значит, что x = 12. Подставив это значение в любое из уравнений системы, получим уравнение с переменной y. Для решения я выбираю первое уравнение:
12 + y = 19,
y = 19 – 12,
y = 7.
Ответ: гречиха занимает 12 га, а просо – 7 га.
Задача 1103:
Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.
Решение:
Пусть длина основания будет x см, а боковой стороны – y см. По условию задачи периметр треугольника равен 43 см, поэтому x + 2y = 43.
Известно, что основание треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Значит x – y = 7.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Почленное сложение уравнений системы не приведёт к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены второго уравнения на 2, то коэффициенты при y будут противоположными числами, а если на –1, то противоположными числами будут коэффициенты при x.
В задаче не спрашивается о длине основания, нам нужно найти только боковую сторону равнобедренного треугольника. Поэтому умножаем на –1.
Теперь почленное сложение приводит к уравнению с одной переменной 3y = 36 и это значит, что y = 12.
Ответ: длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна 12 см.
Задача 1105:
Старинная задача. Ослица и мул шли вместе, нагруженные равными по весу мешками. Ослица жаловалась на тяжесть ноши. «Что ты жалуешься, – сказал мул, – если ты дашь мне твой мешок, моя ноша станет вдвое больше твоей, а если я тебе дам один мешок, то наши грузы сравняются». Сколько мешков нёс каждый?
Решение:
Пусть ослица несла x мешков, а мул – y мешков. Если ослица отдаст один мешок мулу, то у мула мешков будет в 2 раза больше, поэтому 2( x – 1 ) = y + 1.
Но если мул отдаст один мешок ослице, то грузы сравняются. Значит x + 1 = y – 1.
Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению, т. е. удовлетворяют системе:
Решим эту систему способом подстановки, так как здесь очень удобно во втором уравнении выразить x через y: x = y – 2.
Подставив в первое уравнение вместо x выражение y – 2, получим уравнение с одной переменной:
2 (y – 2 ) – y = 3,
2y – 4 – y = 3,
y = 3 + 4,
y = 7 мешков нес мул.
Подставив в равенство x = y – 2 вместо y число 7, найдём соответствующее значение x.
x = 7 – 2,
x = 5 мешков несла ослица.
Ответ: ослица несла 5 мешков, а мул нёс 7 мешков.