Задача: На диагонали прямоугольника взяли точку, равноудаленную от одной его вершины и середины меньшей стороны. В каком отношении данная точка делит диагональ, если стороны прямоугольника равны 1 и 2?
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Пусть ∠BCA = α, тогда ∠ACD = 90° - α. В прямоуг. △ABC: по теореме Пифагора AC = √5 ⇒ sin α = √5/5 и cos α = 2√5/5. CD = AB = 1 по св-у прямоугольника ⇒ CK = KD = 1/2.
В △BCM по теореме косинусов:
2^2 + CM^2 - 2 * 2 * CM * cos α = BM^2
CM^2 + 4 - CM * 8√5/5 = BM^2
В △CMK по теореме косинусов:
(1/2)^2 + CM^2 - 2 * 1/2 * CM * cos(90° - α) = MK^2
CM^2 + 1/4 - CM * √5/5 = MK^2
Поскольку BM = MK, то BM^2 = MK^2 ⇒
CM^2 + 4 - CM * 8√5/5 = CM^2 + 1/4 - CM * √5/5
4 - CM * 8√5/5 = 1/4 - CM * √5/5
CM * 8√5/5 - CM * √5/5 = 15/4
CM * 7√5/5 = 15/4
CM = (15/4)/(7√5/5)
CM = 15√5/28
AM = AC - CM = √5 - (15√5)/28 = 13√5/28
⇒ AM : CM = (13√5/28) : (15√5/28) = 13 : 15.
Ответ: 13 : 15.
Задача решена.
