Задача: В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M и K — середины сторон AB и CD соответственно. Известно, что AB = 5, BC = 2, CD = 7. Найдите AD, если AK=CM.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
В четырёхугольнике ABCD проведём диагональ AC, тогда CM и AK будут являться медианами в треугольниках △ABC и △CAD соответственно.
В △ABC: по формуле медианы CM = √(2*2^2 + 2*AC^2 - 5^2)/2 = (√(2AC^2 - 17))/2.
В △CAD: по формуле медианы AK = (√(2x^2 + 2AC^2 - 49))/2.
По условию CM = AK ⇒
(√(2AC^2 - 17))/2 = (√(2x^2 + 2AC^2 - 49))/2 | * 2
√(2AC^2 - 17) = √(2x^2 + 2AC^2 - 49) | возведём обе части в квадрат
2AC^2 - 17 = 2x^2 + 2AC^2 - 49
2x^2 = 32
x^2 = 16
x = 4, так как x>0
Ответ: 4.
Задача решена.
