Задача: Одна сторона четырёхугольника видна из двух других его вершин под прямыми углами. Найдите эту сторону, если противоположная от неё сторона равна 7, а две другие равны 2.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
(Через теорему синусов)
Рассмотрим прямоуг. △ABD и △DCA:
1) AB = CD(по усл.)
2) AD - общая
⇒ △ABD = △DCA по катету и гипотенузе ⇒ все соответствующие элементы равны.
По условию сторона x видна из двух других его вершин под прямыми углами ⇒ четырёхугольник ABCD можно вписать в окружность, в которой x - диаметр, так как на него опираются прямые вписанные углы.
Пусть ∠ADB = α, тогда по вышедок. ∠CAD = α, ∠BAD = 90° - α. ∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 90° - α - α = 90° - 2α.
По теореме синусов для хорд:
x * sin α = 2
x * sin(90° - 2α) = 7
sin α = 2/x
x * cos 2α = 7
sin α = 2/x
x * (1 - 2sin^2 α) = 7
x * (1 - 8/x^2) = 7
x - 8/x = 7 | *x
x^2 - 7x - 8 = 0
(x-8)(x+1)=0
x = 8, так как x>0
Ответ: 8.
Задача решена.