Желательно ни одной. Но, к сожалению, ошибки здесь допускаются часто, даже в официальных документах.
Причина в сходном звучании и написании предлога посредством и сочетания существительного средство с предлогом по.
Предлог посредством имеет значение «при помощи чего-л., путём чего-л.», образован он от существительного посредство (=посредничество), которое все реже и реже употребляется самостоятельно, в основном – в составе предложных сочетаний при посредстве кого-чего-н., через посредство кого-чего-н., которые характерны для книжной речи. Посредством - буквально застывшая форма творительного падежа (как путём), где окончание превратилось в суффикс -ом-.
За предлогом посредством всегда следует существительное в родительном падеже (посредством (чего?) записей, посредством интернета, посредством мобильной связи).
Существительное средство многозначное. Словари отмечают у него следующие значения:
1) прием, способ действия для осуществления, достижения чего-л (испытанное средство);
2) а) То, что служит какой-л. цели, необходимо для достижения, осуществления чего-л (язык - средство общения);
б) Орудие, устройство, приспособление и т. п. или совокупность их, необходимые для осуществления какой-л. деятельности (средства связи);
в) Лекарство, лечебный препарат или предмет, необходимый при лечении (перевязочные средства);
3) только мн.: деньги, капитал, материальные ценности, предназначенные для какой-л. цели (оборотные средства).
В сочетении по средствам предлог по требует постановки слова средство (мн.ч.) в дательный падеж. Окончание легко проверить словом среднего рода, у которого во множественном числе окончание под ударением, например: поле - поля́. Мы проверям безударные гласные в окончаниях, как проверям в корнях, так как русская орфография построена по принципу единообразного написания частей слова (морфем).
В разговорной речи встречается устойчивое выражение жить (не) по средствам, восходящее к существительному сре́дства в третьем значении.
Давайте проверим себя.