Задача: Отрезок между серединами соседних сторон ромба виден из его противоположной вершины под углом 30°. Найдите острый угол этого ромба с точностью до 1°.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим △ABM и △CBN:
1) AB = BC (по св-у ромба)
2) AM = CN (по усл.)
3) ∠BAD = ∠BCD (по св-у ромба)
⇒ △ABM = △CBN по I признаку равенства треугольников ⇒ все соответствующие элементы равны ⇒ ∠ABM = ∠CBN, обозначим их углами α(см рисунок)
∠BCD = 180° - ∠ABC = 180° - (30° + 2α) = 150° - 2α. В △BCN: ∠BNC = 180° - ∠BCN - ∠NBC = 180° - (150° - 2α) - α = 30° + α.
По теореме синусов sin∠BNC/BC = sin∠NBC/NC; решим данное уравнение:
sin α/NC = sin(30° + α)/BC
BC * sin α = NC * sin(30° + α) | разделим обе части уравнения на NC; NC - половина стороны ромба ⇒ BC/NC = 2
2 sin α = sin(30° + α)
2sin α - sin(30° + α) = 0
2sin α - (sin 30° * cos α + cos 30° * sin α) = 0
2sin α - (cos α)/2 - sin α√3/2 = 0
sin α (4-√3)/2 - (cos α)/2 = 0 | умножим обе части уравнения на 2
(4-√3)sin α - cos α = 0
Прежде чем продолжить, обратимся к записи:
a * sin α + b * cos α = 0; где a, b ≠ 0
Докажем, что sin α ≠ 0 и cos α ≠ 0, используя метод от противного. Предположим, что cos α = 0, тогда a * sin α = 0; sin α = 0. По основному тригонометрическому тождеству sin^2 α + cos^2 α = 1, однако 0^2 + 0^2 ≠ 0. Противоречие. Наше предположение, что cos α = 0 - неверно.
Что и требовалось доказать.
Вернёмся к решению нашего уравнения.
Поскольку sin α и cos α ≠ 0, то мы можем разделить обе части уравнения на cos α:
(4-√3)sin α/cos α - cos α/cos α = 0
(4-√3) * tg α - 1 = 0
tg α = 1/(4 - √3) (за √3 возьмём значение 1,73)
tg α ≈ 1/2,27
tg a ≈ 0,44
По таблице значений найдём a: a ≈ 24° ⇒ ∠ABC = 2 * 24° + 30° = 78°.
Ответ: 78°.
Задача решена.