Задача: В треугольнике ABC провели высоты AM и CN. Из точки N на сторону BC опустили перпендикуляр NK, а из точки M на высоту CN — перпендикуляр ME. Найдите длину отрезка KE, если AC = b, a угол ABC равен β.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
Рассмотрим четырёхугольник NKME: ∠NKM = ∠NEM = 90°, так как NK и ME - высоты. Если противоположные углы четырёхугольника в сумме дают 180°, то вокруг него можно описать окружность. Во вписанном четырёхугольнике NKME по теореме синусов для хорд KE = 2R * sin∠KNE.
Проведём NM, хорда NM будет являться диаметром окружности, описанной вокруг NKME, поскольку на него опирается вписанный прямой ∠NEM ⇒ KE = NM * sin∠KNE.
В четырёхугольнике BNOM: ∠NOM = 360° - 90° - 90° - β = 180° - β.
В четырёхугольнике NKMO: ∠KNO = 360° - 90° - 90° - (180° - β) = β.
⇒ KE = NM * sin β(см. рисунок)
Рассмотрим четырёхугольник ANMC: ∠ANC = ∠AMC и оба угла "опираются" на AC ⇒ вокруг ANMC можно описать окружность, диаметром которой будет AC, поскольку на него опирается вписанный прямой ∠AMC. Тогда по теореме синусов для хорд NM = 2R * sin∠BCN = b * sin∠BCN.
В прямоуг. △BNC: ∠BCN = 90° - β ⇒ NM = b * sin (90° - β) = b * cos β(см рисунок)
⇒ KE = b * cos β * sin β.
Ответ: b * cos β * sin β.
Задача решена.