Задача: Угол при основании равнобедренного треугольника равен α. Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к его высоте, опущенной на основание.
©Математическая Вертикаль. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Автор: М.А.Волчкевич.
Решение:
По св-у равнобедренного треугольника BK не только высота, но и медиана, и биссектриса ⇒ центр окружности, точка O, по св-у окружности, вписанной в угол, она лежит на BK ⇒ OK - радиус данной окружности (см. рисунок).
В прямоугольном △BKC: BK = BC * sin α. По лемме, которую мы доказали в №13, KC = OK/tg(α/2), отсюда OK = KC * tg(α/2) и по формуле tg(α/2) = sin α/(1 + cos α), так же выведенной в №13, OK = KC * sin α/(1 + cos α).
Найдём искомое отношение:
Ответ: cos α/(1 + cos α).
Задача решена.