Слышали про векторы и скаляры? Сегодня мы пойдём дальше и узнаем что такое мультивекторы, антивекторы и псевдоскалары, поговорим о том куда они все направлены. А в конце нарисуем красивую картинку с мультиком!
В этой серии статей мы постепенно знакомимся с основами геометрической алгебры: современным инструментом физики, вычислительной математики и компьютерной графики.
В прошлой статье мы рассмотрели алгебру, которую образуют пространства различной размерности — внешние алгебры Грассмана. Они, в свою очередь, являются частным случаем алгебр Клиффорда Cl(0,n,0) расширяющих вещественные числа корнями из нуля. Говоря о внешней алгебре, мы рассматриваем алгебру с генераторами е₁, е₂, е₃,..., еₙ и таким умножением, что eᵢ² = 0, и еᵢeₖ = −eₖeᵢ. Все возможные неприводимые произведения eᵢⱼₖ.. = eᵢeⱼeₖ... образуют базис этой алгебры, а любой элемент — геометрическое число, выражается линейной комбинацией базисных элементов. Вот! Произнесено главное словосочетание в нашем повествовании: "линейная комбинация".
Линейная комбинация это сумма каким-то образом масштабированных независимых компонент. Независимость означает, что ни одну из компонент нельзя выразить как линейную комбинацию других. Все линейные комбинации заданного набора компонент образуют линейное пространство.
Мои любимые примеры линейных пространств:
- Кофе, который я могу смешать в своей чашке из четырëх независимых компонент: воды, эспрессо, молока и сахара. Масштабирование задаëтся мерой объëма на глаз, суммирование обеспечивается ложечкой.
- Цвет в представлении RGB или CMYK. Здесь компоненты — базовые цвета, масштабирование — их интенсивность, суммирование или вычитание происходит в зрительной коре при обработке импульсов возбуждения от палочек и колбочек трëх видов.
- Разложение функции в степенной ряд или ряд Фурье. Компоненты — бесконечный набор функций, масштабирование и сложение традиционные.
- Размерность физической величины, составленная из неприводимых компонент, например, длины, времени, массы, заряда. Масштабирование в этом случае — это возведение в степень, а суммирование — перемножение.
- Позиционная запись чисел с помощью цифр. Здесь компоненты это степени основания, масштабирование производится элементами кольца вычетов (цифрами), а сложение — конкатенацией (записью цифр в строчку одной за другой).
Во всех линейных пространствах два элемента равны, если у них соответственно равны все коэффициенты при компонентах, от перемены мест слагаемых сумма не меняется, и кроме того, сложение согласуется с масштабированием в том смысле, что сумма n одинаковых компонент эквивалентна целочисленному масштабированию:
Так что, как видите, линейное пространство — это весьма распространённая и вполне интуитивно понятная модель всевозможных смесей.
Что же к этому может добавить внешняя алгебра Грассмана? — там где она работает, она помогает выстраивать иерархию подпространств в линейных пространствах и более того, превращает эти подпространства — в линейную алгебру!
Повторим ещё раз, во внешней алгебре компоненты можно интерпретировать, как подпространства, какого-то линейного пространства, например, евклидового ℝⁿ. В этом случае подпространства образуют линейно упорядоченное множество со следующим порядком:
точка ≺ прямая ≺ плоскость ≺ объëм ≺ ... ≺ вмещающее пространство.
Чтобы такая иерархия выполнялась строго, необходимо, чтобы все они имели непустое пересечение то есть общее минимальное подпространство. Это значит, что всё указанные выше прямые, плоскости и прочие подпространства должны содержать единственную общую точку.
В такой структуре скалярная единица 1 будет соответствовать общей точке, генераторы е₁, е₂, е₃, ... — одномерным пространствам, то есть, прямым линиям, проходящим через точку 1, а их внешние произведения различного ранга — пространствам всех возможных их линейных комбинаций соответствующих размерностей.
Давайте подробно рассмотрим что собой представляет такая линейная комбинация, то есть, смесь двух прямых aе₁ + bе₂.
Если a = 1, b = 0, то мы получаем прямую е₁. Если a = 0, b = 1, тот прямую е₂. Разумно решить, что эти прямые имеют одинаковую метрику (внутреннюю единицу длины), тогда их сумма е₁ + е₂ и разность е₁ − е₂ будут соответствовать бисектриссам угла, который образуют эти прямые.
Обратите внимание на то, что для любого угла между е₁ и е₂ эти бисектриссы будут ортогональны друг другу, а значит, мы всегда сможем построить ортогональный базис в пространстве, которое эти прямые образуют. Так что не будет большим произволом считать, что все генераторы соответствуют взаимно ортогональным прямым.
Как видите, это похоже на знакомое геометрическое сложение векторов. И хотя мы считаем генераторы не векторами, а одномерными пространствами, они ведут себя вполне по-векторному, и мы будем называть 1-векторами.
Многообразие всех прямых aе₁ + bе₂ образует плоскость, в которой эти прямые лежат. Эту плоскость выражает внешнее произведение е₁∧е₂ = е₁₂.
Из двух независимых плоскостей, например, е₁₂ и е₁₃, тоже можно образовать линейную комбинацию aе₁₂ + bе₁₃, которая тоже будет некоторой плоскостью. Выходит, что плоскости во внешней алгебре тоже ведут себя как векторы, только своеобразные — двумерные. Их называют 2-векторами.
Таким же образом строятся 3-векторы, как линейные комбинации внешних произведений трёх генераторов, 4-векторы, как внешнее произведение 2-векторов и так далее. Все однородные элементы внешней алгебры ранга k представляют собой k-векторы, которые складываются по векторным правилам, и представляют собой подпространства размерности k.
И наоборот
Давайте вспомним, что любая внешняя алгебра идёт в комплекте с двойственной алгеброй, в которой единственной общей точке соответствует единственное вмещающее пространство максимальной размерности n. Одномерным пространствам двойственны дополнительные им подпространства размерности n – 1. Они называются 1-антивекторами. или 1-ковекторами. Соответственно, k-вектору двойственен k-антивектор, то есть пространство размерности n – k, ортогональное k-вектору.
Давайте поразмыслим, какой геометрический смысл может быть у антивекторов. Рассмотрим алгебру с тремя генераторами е₁, е₂, е₃ которые образуют элементы:
Она содержит скаляр 1, три 1-вектора (прямые), три 2-вектора (плоскости) и один псевдоскаляр.
В двойственной алгебре 1-антивекторы — это плоскости, 2-антивекторы — прямые. Причём k-вектор и k-антивектор представляют взаимно ортогональные и взаимно дополнительные пространства.
Это значит, что в трëхмерной геометрии 1-вектор это линия, а 1-антивектор это ортогональная ей плоскость. И наоборот, 2-вектору и 2-антивектору соответствуют плоскость и ортогональная ей прямая.
В двумерном мире и 1-вектор и 1-антивектор представляют взаимно ортогональные прямые.
Внешнее произведение повышает ранг элемента в алгебре. В двойственной алгебре оно должно повышать ранг антивектора, что геометрически соответствует понижению размерности пространства.
Опять обратимся к двойственной трёхмерной алгебре. В ней произведение двух 1-антивекторов это 2-антивектор, ортогональный обоим исходным множителям. Этому произведению соответствует линия пересечения двух исходных плоскостей. На рисунке показан пример.
В двумерном мире внешнее произведение двух 1-антивекторов (прямых) должно быть 2-антивектором (точкой), которому соответствует точка принадлежащая обеим прямым.
Таким образом, мы приходим к выводу, что произведение, двойственное внешнему произведению, отыскивает общие подпространства для своих множителей, или их пересечение. Это очень похоже на соответствующие операции над множествами. Также как для объединения и пересечения множеств выполняется тождество Де Моргана, так и для этих двух произведений мы имеем аналогичное отношение:
Куда направлены k-векторы?
Все пространства, представляемые в алгебре Грассмана, вполне естественным образом оснащаются мерой — аналогом длины, площади или объëма. Однако правила алгебры таковы, что все эти меры могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Кроме того, некоторая мера есть и у подпространства размерности 0, то есть у точки.
Каждый старшеклассник знает, чем отличается вектор от скаляра: у вектора есть величина и направление, а у скаляра — только величина. Кое-кто, наверняка слыхал про то, что поверхностям тоже можно приписать некоторое направление — ориентацию. А как обстоят дела с объектами иных размерностей — точками, объёмами, гиперобъёмами?
В геометрической алгебре двойственность встречается повсюду. К ориентированию пространства тоже можно подойти двумя разными, но неразрывно связанными друг с другом способами, которые можно назвать "внутренним" (intrinsic) и "внешним" (extrinsic) по отношению к объекту. Их ещё можно назвать "собственным" и "индуцированным".
Легче всего эту двойственность увидеть на примере прямой. Находясь внутри одномерного пространства, мы можем двигаться в двух противоположных направлениях. Это даёт нам естественную внутреннюю ориентацию прямой (при этом, нам совершенно неважно какое из них считать положительным, а какое отрицательным).
Теперь обратим своë внимание не на прямую, а на окружающее еë пространство. Существуют преобразования всего пространства, которые оставляют эту прямую неизменной: сдвиги, масштабирования, отражения или повороты. Этим движениям тоже можно приписать два направления по отношению к прямой. И их тоже можно использовать для ориентации этой прямой, но уже с помощью внешнего поля.
Здесь уместна аналогия с током и вихревым полем. Ток — движение внутри провода, поле — движение в дополнительном по отношению к проводу пространстве.
Такие же два подхода пригодны и к плоскости. Еë ориентацию можно задать либо направлением вращения точек, принадлежащих плоскости (вихревым током), либо направлением потока некоторого поля, проходящим через площадку в дополняющем еë пространстве.
Ориентацию точки можно также задать, как некоторую внутреннюю характеристику (заряд, вес, интенсивность источника или стока), либо как внешнюю — дивергентное или конвергентное поле, создаваемое этим зарядом. Внутреннюю ориентацию объёма представить себе непросто, внешнюю можно определить как суммарный поток четырёхмерного поля проходящего через границы объёма.
Как видите, иногда для понимания или представления может оказаться проще внутренняя ориентация, иногда — внешняя. Эти два представления обладают разными свойствами, в частности, по-разному реагируют на зеркальные отражения, но для нас главное это то, что между ними можно построить взаимно-однозначное соответствие. Можно договориться, что положительный заряд "внутри" точки — это источник поля снаружи еë, а отрицательный — сток. Можно условиться использовать правило правой руки или буравчика для связи между током и вихревым полем (а можно и левой руки либо антибуравчика, если хочется), можно договориться, что "правые тройки" векторов определяют "положительные" объëмы и т. д. При всей условности и произвольности этих правил мы можем, если надо, положиться на них, когда требуется объяснить кому-то как от внешней ориентации мы переходим к внутренней и наоборот.
Главное во всëм этом то, что подпространства любой размерности могут иметь одну из двух ориентаций, а как именно еë задавать не так уж и важно, лишь бы принцип был единым при решении конкретной задачи.
А что нам предлагает внешняя алгебра? С направлением 1-вектора всë традиционно и понятно. Ориентация 2-вектора задаётся порядком элементов в произведении: e₁e₂ = –e₂e₁. Это можно интерпретировать либо внутренним образом, как направление вращения от первого множителя ко второму, либо внешним — как направление соответствующего антивектора. Однако какому именно направлению будет соответствовать каждый из генераторов, это тоже вопрос договорённости. Привязываясь к какой-то конкретной системе координат, можно, например, положить, что e₁ это направление x, а e₂ направление y. Или наоборот. Главное, чтобы при использовании такой алгебры отношение порядка на множестве генераторов не менялось, тогда всё результаты будут интерпретированы однозначно, а знаки алгебра расставит сама. Ориентацию элементарного объёма или гиперобъёма во внешней алгебре даже не нужно интерпретировать: она однозначно задаётся знаком подстановки, которую образуют индексы во внешнем произведении. При этом такой принцип даёт согласованную систему знаков по пространствам всех размерностей от нулевой (скаляра) до максимальной (псевдоскаляра).
Таким же формальным подходом широко пользуются в теории поля, в дифференциальной геометрии и тензорном исчислении. Для меня, как для большого путаника, это существенное облегчение, потому что вспомнить какую именно руку использовать, какие пальцы куда растопыривать и какой буравчик крутить, всегда было сущим мучением! А то куда направить векторное произведение, мне было проще формально вычислить через определитель, чем вспомнить. Алгебраический подход всё эти условности снимает, расставляя знаки подпространств автоматически, и в отличие от определителя, чрезвычайно простым способом: через знак подстановки.
В следующей статье мы на базе внешней алгебры построим первую геометрическую алгебру, в которой уже будет не одна единственная точка, а вполне полноценное пространство.
* * *
Сегодняшняя картинка опять продемонстрирует двойственные элементы в виде симпатичной картинки.
