Геометрическая алгебра

По горячим следам заметки про радугу хочу поделиться некоторыми деталями расчёта рассеивания света на каплях воды. Эта статья играет роль приложения к предыдущему рассказу для особо любопытных. Напомню, что геометрические алгебры, или алгебры Клиффорда, позволяют оперировать подпространствами — точками, прямыми, плоскостями, — как числами. При этом, наряду со сложением и умножением используется ряд специфических операций: внешнее, внутреннее и регрессивное произведения, а также сопряжение и три инволюции...

Помните, что такое скалярное произведение векторов? Так вот, в удивительном мире геометрической алгебры, скалярных произведений целых четыре! Давайте раберёмся, зачем нам такое богатство, а в конце, как обычно, построим красивые картинки. На сей раз, полюбуемся на четырёхмерную сферу. Продолжим наш неспешный разговор о геометических алгебрах, в которых вычисления производятся не с координатами точек или прямых, а с самими точками, прямыми, плоскостями и другими геометрическими объектами. В прошлый раз мы рассмотрели афинную геометрическую алгебру Cl(2,0,0)...

Сегодня числа раскроются перед нами в новой роли. Мы увидим, что число это не только количество чего-нибудь, оно можеть быть глаголом, действием, движением, преобразующим целые простраснтва! А в конце рассказа полюбуемся симпатичным алгебраическим калейдоскопом, построенным с помощью геометрических чисел. Продолжаем серию материалов про геометрическую алгебру, которая дарит нам новый глубокий взгляд одновременно и на геометрию и на алгебру. Мы с вами мельком взглянули на алгебру кватернионов к которой...

На уроках алгебры мы решали уравнения и упрощали выражения, на уроках геометрии — чертили и доказывали теоремы. Сегодня мы объединим эти два урока и познакомимся с геометрической алгеброй, в которой можно алгебраическими методами производить любые геометрические построения, доступные с помощью карандаша, линейки и рационального транспортира. Продолжаем серию статей, в которой мы знакомимся с принципами построения геометрических алгебр. Внешняя алгебра позволила нам получить алгебраическую модель евклидового пространства Rⁿ...

Слышали про векторы и скаляры? Сегодня мы пойдём дальше и узнаем что такое мультивекторы, антивекторы и псевдоскалары, поговорим о том куда они все направлены. А в конце нарисуем красивую картинку с мультиком! В этой серии статей мы постепенно знакомимся с основами геометрической алгебры: современным инструментом физики, вычислительной математики и компьютерной графики. В прошлой статье мы рассмотрели алгебру, которую образуют пространства различной размерности — внешние алгебры Грассмана. Они,...

На что похожа алгебра, в которой есть несколько ненулевых корней из нуля? Как можно вычислять целые пространства? А как и их помощью рисовать красивые картинки? Продолжаем серию статей про геометрические алгебры. Мы начали со знакомства с алгебрами Клиффорда, в которых к вещественным числам добавлены элементами, названные нами "квадратными корнями" из –1, 0 и 1. В прошлой статье мы взглянули на алгебры Клиффорда с несколькими различными мнимыми единицами (корнями из –1) и получили кватернионы, пригодные для представления поворотов в пространстве...