Почему мнимая единица в алгебре может быть либо одна, либо их должно быть сразу три или семь? Для ответа на этот вопрос нам надо научиться правильно смешивать воображаемые числа, и погрузиться в удивительный мир геометрической алгебры.
Это первая часть в серии статей про алгебры Клиффорда и геометрические алгебры различного устройства. Она будет в большей степени алгебраической, чем геометрической. В ней мы разберём базовые принципы построения клиффордовых алгебр, и поймём почему эти принципы именно такие.
В цикле "Изобретаем числа" мы по очереди знакомились с различными необычными числовыми системами: гиперболическими, дуальными и эллиптическими. Рекомендую просмотреть эти статьи, и освежить впечатления от знакомства с ними.
Все упомянутые выше числовые системы строились по одной модели: к алгебре вещественных (целых) чисел искусственно добавляется новый элемент, который определяется, как решение некоторого уравнения. Так комплексные (эллиптические) числа строятся на добавлении решения уравнения x² + 1 = 0, двойные числа содержат число, которое является решением уравнения x² – 1 = 0, но при этом отлично от вещественной единицы. Дуальные числа расширяются ненулевым решением уравнения x² = 0. Последние два варианта могут показаться странными и искусственными, поскольку в исходных числовых системах такие числа уже присутствуют, однако смысл в этом, всё же, есть.
Уравнения, определяющие числовую систему, могут иметь любой порядок, например, числа Ейзенштейна определяются уравнением третьей степени, но если мы ограничимся определяющими уравнениями только второго порядка, то это существенно облегчит нам жизнь: а именно значение любого многочлена в такой алгебре будет линейной комбинацией вещественного числа и "добавки". Действительно, в какую бы степень мы не возвели выражение a + b x, если x при возведении в квадрат превращается в обыкновенное вещественное число, не важно, положительное или отрицательное, то результат вновь приобретëт линейный вид a' + b'x. Это же относится и к любому многочлену вида
в котором переменная y имеет вид a + bx. Линейность произвольного элемента — это ценное свойство, отказываться от него не стоит, так что мы ограничимся рассмотрением именно таких алгебр.
Пора, наконец, чётко определиться с тем, что мы будем называть словом "алгебра". Это линейное пространство (похожее по структуре на векторное), в котором определены операция сложения и умножения на число, а также определна операция умножения элементов этого пространства.
Чтобы носить гордое имя умножения эта операция должна быть ассоциативной (должен выполняться сочетательный закон), унитальной (должен существовать единственный нейтральный элемент, эквивалентный вещественной единице) и дистрибутивной (должен выполняться распределительный закон). Вместо введения особого умножения, мы могли с помощью матриц строить представления добавляемых невещественных единиц, после чего пользоваться хорошо известными методами линейной алгебры. Кроме того, матрицы позволяли нам придать некий геометрический смысл дополнительным элементам. Однако при знакомстве с геометрической алгеброй мы постараемся вовсе не использовать матриц. Так что если вы по какой-то причине не любите матричных вычислений, то можете выдохнуть с облегчением, серьёзную геометрию можно делать и без них.
Алгебры Клиффорда расширяют вещественные числа не одним, а сразу несколькими новыми элементами, не являющимися вещественными, но превращающимися в вещественные числа при возведении в квадрат. Про один такой пример вы, наверняка слышали — это кватернионы: числа с тремя мнимыми единицами. А какие ещё интересные и полезные числовые системы можно получить таким образом? Может ли мнимых единиц быть 2, 5 или 11?
Давайте введём кое-какие обозначения. Для вещественных коэффициентов мы будем использовать строчные буквы a, b, c ... для дополнительных единиц — символы е₀, е₁, е₂, ... и, кроме того, отдельно введём обозначение для вещественной единицы — 1.
Итак, объектом нашего интереса будут числа в системе несколькими независимыми невещественными единицами, такими, что их квадраты вещественны. Тут важно сделать паузу и уточнить, что означает слово независимый, применительно к числам.
Когда мы говорим о независимых векторах или направлениях, то имеем в виду линейную независимость:
Векторы v₁, v₂,... независимы друг от друга, если их линейная комбинация a₁v₁+a₂v₂+... может быть равна нулю, только в том случае, если всё коэффициенты a₁, a₂,.. равны нулю.
Такой же точно подход применим и к числам. Например, √2 и √5 независимы в поле рациональных чисел. Действительно, никакой линейной комбинацией этих двух иррациональных чисел с целыми или рациональными коэффициентами невозможно получить нуль. А вот, например, рациональные числа, добавленные к целым, независимыми уже не будут.
Поскольку мы строим числа, как линейные комбинации вещественной единицы 1 и невещественных единиц е₀, е₁, е₂, ..., при построении таких чисел мы имеем все основания считать их независимыми именно в таком смысле.
Алгебры, получаемые добавкой одной дополнительной единицы мы уже рассмотрели: это комплексные, дуальные и двойные числа. Рассмотрим теперь системы с двумя невещественными единицами е₁ и е₂. Число в такой системе может быть их линейной комбинацией: a1 + be₁ + ce₂. Однако, при умножении его на другие числа такого же вида, мы в силу распределительного закона, можем получить и такие произведения: e₁e₂ и e₂e₁.
По школьной привычке, мы могли бы счесть эти два произведения равными друг другу. И вот тут есть один очень важный момент: для умножения наших элементов вовсе не обязан выполняться перестановочный закон, справедливый для вещественных чисел. Более того, мы увидим, что он даже нежелателен! Однако, если в самом общем случае выражения e₁e₂ и e₂e₁ не будут связаны никакими дополнительными соотношениями, то в нашей алгебре появится бесконечно много элементов вида e₁e₂e₁ и e₁e₂e₁e₂ и им подобных, ведь переставить элементы местами, чтобы упростить их, не получится. Так что свободу в этом вопросе стоит как-то ограничить. Давайте найдём каким должно быть это ограничение, отталкиваясь от основного свойства наших единиц: давать в квадрате вещественное число, а также от желания получить конечную линейную алгебру.
Пусть e₁² = C₁1 и e₂² = С₂1. Где числа C₁ и С₂ принимают какие-то известные вещественные значения. Имеет смысл потребовать (почему, поговорим чуть позже) чтобы любая линейная комбинация невещественных единиц при возведении в квадрат тоже давала вещественное число, то есть, чтобы выражение
было вещественным. И тут мы видим, что при коммутативном умножении, то есть, если e₁e₂ = e₂e₁, получить ненулевой вещественный результат не выйдет. Сам собой напрашивается очевидный вариант — искусственно положить, что e₁e₂ = –e₂e₁, но я хочу рассмотреть с вами общий случай произведения двух элементов, который мы запишем так:
Это уравнение называется соотношением Клиффорда. Зачем в нём понадобилась двойка, вы скоро узнаете. Давайте присмотримся к неизвестной вещественнозначной функции B, которая определяется левой строгой соотношения Клиффорда:
Во-первых, она симметрична:
во-вторых, линейна по своим аргументам, то есть
И в-третьих,
Такая функция называется билинейной квадратичной формой и в геометрии имеет смысл скалярного произведения, с помощью которого вычисляется норма (длина) вектора.
Мы строим геометрическую алгебру и если будем интерпретировать единицы е₁ и е₂, как векторы, то числа C₁ и С₂ будут их нормами, а функция B(е₁, е₂) — их скалярным произведением. При такой интерпретации наше требование чтобы квадрат линейной комбинации е₁ и е₂ был вещественным, можно толковать так: сумма векторов тоже должна быть вектором и при возведении в квадрат тоже должна превращаться в скаляр, то есть, в норму этой суммы.
Наконец, для линейно независимых элементов е₁ и е₂ их скалярное произведение должно быть равно нулю, а значит B(е₁, е₂) = 0, и следовательно, мы остаëмся с единственным вариантом:
Для того, чтобы умножение элемента на самого себя было равно его квадрату, нам и понадобилась двойка в соотношении Клиффорда.
Так в общем случае определяются алгебры Клиффорда, порождённые двумя элементами — генераторами алгебры. Конкретная алгебра однозначно задаётся значениями C₁ и С₂, которые могут быть положительными, нулевыми или отрицательными. Без нарушения общности генераторы алгебры можно считать нормированными, то есть, дающими при возведении в квадрат ±1 или 0.
Если генераторов будет не два, а больше, то увеличится и число их комбинаций, то есть, несократимых произведений — базисных элементов, или мономов. Число множителей в таком произведении называется его рангом. Например, для трёх генераторов е₁, е₂ и е₃ мы получим дополнительно три несократимых произведения второго ранга: е₁е₂, е₂е₃, е₁е₃, и одно — третьего: е₁е₂е₃. Четыре генератора породят 6 мономов второго ранга, 4 монома третьего ранга, и один — четвёртого. Нетрудно догадаться и доказать, что в алгебре с n генераторами будет всего 2ⁿ базисных элемента, а количество мономов ранга k будет равно биномиальному коэффициенту C(k, n), то есть, числу сочетаний по k из n.
Отсюда сразу можно сделать вывод, что построить альтернативную алгебру с двумя мнимыми единицами, не получив вместе с ними третью, не выйдет. Именно поэтому расширением комплексных чисел являются кватернионы (числа Гильберта) с одной вещественной и тремя мнимыми единицами, а их расширение — октонионы (числа Кэли) содержат сразу 7 мнимых единиц.
Подводим итог. Произвольная алгебра Клиффорда
- строится с помощью n независимых генераторов,
- еë элементы — линейные комбинации 2ⁿ базисных элементов (мономов),
- она оснащена ассоциативной операцией умножения, которая полностью определяется следующими соотношениями для генераторов:
Поскольку алгебра однозначно определяется квадратами генераторов, её можно охарактеризовать так называемой сигнатурой — количеством базовых элементов, которые при возведении в квадрат дают 1, 0 или –1. Так, алгебра Клиффорда Cl(p, q, r) содержит p единиц, q исчезающих элементов и r мнимых единиц.
Вот три элементарные алгебры Клиффорда:
О том, что значат эти обозначения вы можете посмотреть в этой статье.
Напоследок, заметим, что у клиффордова умножения есть ещë одно важное и полезное свойство: оно может быть обратимым. Если моном не содержит генератора, квадрат которого равен нулю, то при умножении его на самого себя, мы получим его норму, равную ±1, и следовательно, можем считать его обратным самому себе (с точностью до знака). Более того, обратимыми могут быть и однородные элементы. Это, увы, не делает алгебру полем, поскольку в ней легко найти необратимые элементы, но в практически важных вычислениях обратимость умножения бывает очень полезна.
* * *
Это было, быть может, не очень увлекательное, но необходимое введение. Оно показывает, что алгебры Клиффорда появляются не из хитрых определений в учебнике, а как естественное и единственно возможное развитие идей, обобщающих комплексные, дуальные и двойные числа. К тому же они обладают множеством универсальных свойств, что делает теорию алгебр Клиффорда весьма содержательным разделом математики.
В следующий раз мы познакомимся с зоопарком алгебр Клиффорда с двумя генераторами, а пока предлагаю посмотреть на то, ради чего мы лезем в эти дебри:
Пример вычислений в геометрической алгебре.
Как известно, три медианы в треугольнике пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника и делит медианы в отношении 1:2. Все ити утверждения несложно доказываются в курсе геометрии средней школы.
А вот как это можно доказать средствами геометрической алгебры Cl(p,1,0) с помощью двух операций соединения (∨) и пересечения (∧), которые определяются через умножение Клиффорда.
- Медиана — это прямая, соединяющая вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Вот как вычисляются три медианы треугольника в вершинами A, B и C:
- Вычислим точку пересечения двух медиан a и b:
Умножение линии на скаляр не изменяет еë направления, так что мы можем убрать коэффициент ½. Раскрывая скобки и сокращая произведения, получим:
Этот результат говорит о том, что точка M совпадает с центром тяжести (центроидом) треугольника.
- Покажем теперь, что и третья медиана проходит через M. Для этого вычислим прямую, проходящую через точки C и M:
C∨M = C∨(A+B+C) = C∨A+C∨B+C∨C = C∨(A+B) = c
- Напоследок, скоренько проверим, что точка M делит медиану в отношении 1:2. Расстояние от точки A до M:
Расстояние от точки M до середины стороны BC:
Здесь множитель 1/2 не отбрасывается, поскольку относится к длине, а не к прямой.
Я нарочно не комментирую подробно, что происходит в этих вычислениях, в своë время мы со всём этим разберëмся. Но хочу обратить ваше внимание на то, что это доказательство не использует ни координат, ни даже размерности пространства, в котором рассматривается треугольник, неявно отражая то, что три точки в любом пространстве принадлежат одной плоскости.
Ну, и как в прошлой статье, приведу чертёж и код этого чертежа на языке Haskell написанный с помощью геометрической алгебры.
Продолжение следует!