Сегодня мы взглянем на числа глазами алгебраиста, и познакомимся с двумя мощными инструментами: представлениями и расширением алгебраических систем.
В этой серии статей мы последовательно строим модели числовых систем и знакомимся с полезными математическими инструментами. Из пары натуральных чисел, в которых корректно можно только складывать и умножать, мы, с помощью факторизации построили модель целых чисел, для которых стало корректным вычитание. Парой целых чисел, мы описали гауссовы числа, которые арифметически не стали мощнее целых, но описывают не дискретную числовую прямую, а числовую решётку, полезную во многих задачах: от геометрии до теории чисел.
Но до сих пор, определяемые нами арифметические операции и отношения были искусственными. Они появлялись не из самой модели, а вводились "снаружи" — из логики хорошо известной нам числовой системы, которую мы моделируем. Действуя таким образом, ничего существенно нового построить не получится, и все наши модели будут не полезнее знаменитого троллейбуса, построенного из хлебной буханки.
У читателя должны были возникнуть естественные вопросы: А почему это произведения для пар должно быть именно такими? А какие вообще числовые системы можно определить таким образом? Какие из этих моделей будут иметь смысл или возможное применение?
Первым делом, пора определиться с тем, что такое числа. Не будем тут толковать про "абстракции" и "идею" количества, а сразу сурово скажем, что числами будем считать объекты любой природы, для которых можно корректно и замкнуто определить сложение и умножение, причём так, чтобы для них выполнялись сочетательный и распределительный законы (ассоциативность и дистрибутивность). Замкнутость означает, что сумма и произведение двух чисел всегда является числом.
Это подход алгебраиста: его интересуют не объекты, как таковые, а доступные действия над ними и свойства этих действий. Своей кульминации такой подход достиг в середине XX века, с появлением теории категорий, в которой объектами стали целые математические теории, а изучению подлежат не они, а свойства возможных действий над ними, превращающих их в другие объекты-теории.
Говоря о числах в аглебре, мы не пытаемся понять их природу или ответить на вопрос: что же это такое? Вместо этого, мы выясняем, какие действия возможно производить с тем, что можно назвать этим словом, и в зависимости от набора этих действий и их свойств, распознаëм ту или иную числовую систему.
Например, натуральные числа с операциями + и × образуют структуру, которая называется полукольцом. Целые числа уже мощнее, в них появляются ноль и отрицательные числа, позволяющие "отменять" сложение, так что мы говорим о кольце целых чисел. Рациональные числа добавляют к этому деление, превращаясь в поле. Вещественные числа делают это поле полным, добавляя в него все пределы сходящихся последовательностей, а комплексные числа алгебраически замыкают его. Эта "числовая башня" хорошо известна. Параллельно с ней развиваются и используются конечные модулярные арифметики и кольца многочленов, нашедшие отражение в привычной нам позиционной записи чисел, а также всякая экзотика: дуальные, гиперболические, p-адические числа и им подобная нечисть.
А что именно и как именно мы "складываем" или "умножаем", нам совершенно неважно. Скажем, в так называемом тропическом кольце, роль умножения выполняет сложение, а сумма двух элементов вычисляется, как минимальное среди них. Однако эти две операции прекрасно подходят на роль сложения и умножения, так что мы работаем с такой системой, как с кольцом.
Далее термины "числовая система" и "арифметика" я буду использовать как синонимы, обобщающие полукольца, кольца, и поля.
Арифметики можно моделировать, обнаруживая вокруг нас объекты и явления с соответствующими операциями, но ни одна такая модель не будет является главной или как-то отражать "природу" числа. Они могут быть более или менее интуитивно понятными, в различной степени практически полезными, и явно или неявно структурированными.
Цель этих заметок: показать на ряде примеров, из какой логики строятся осмысленные арифметики и их модели, и надо сказать, до сих пор этой логики мы не касались, а занимались "зоологией" — описали парочку знакомых "экземпляров" арифметик и перечислили их особенности (классы эквивалентности, отношение порядка, корректность и согласованность арифметических операций и т. д.). Вот эти две модели:
Пора приступить к математике!
Ключевое свойство арифметики
Если внимательно присмотреться к нашим двум моделям числовых систем, то в них легко разглядеть векторную природу.
Во-первых, пары чисел образуют некоторое пространство с координатами — натуральными или целыми числами. Во-вторых, сумма и разность пар вычисляется покомпонентно, точно также как и в векторной алгебре. Отличие от векторов состоит в выбранном нами способе перемножения пар, которое не соответствует какой-либо из привычных векторных операций (скалярному произведению, векторному, смешанному и др.). Причём именно то, каким будет произведение, и диктует особые свойства наших моделей.
Такие конструкции, подобные векторным пространствам над числовыми полями, можно строить и над более примитивными структурами, абелевыми группами, кольцами и так далее. В случае колец, они называются модулями (этим словом в математике что только не обозначают!).
Таким образом, забавляясь с камнями и палками, мы строили двумерные модули над натуральными числами, а задавая специфические операции умножения и отношение эквивалентности, мы наделяли эти модули свойствами конкретной арифметики.
Теперь отвлечёмся от конкретики и рассмотрим двумерный модуль над арифметикой 𝔸, на котором мы хотим построить новую арифметику. Оставим сложение векторным, то есть, покомпонентным, и зададимся вопросом: каким образом можно определить какое-либо корректное умножение для пары?
Исходя из нашего определения числа, умножение двух пар должно всегда возвращать корректную пару, и для него обязаны выполняться сочетательный и распределительный законы. Кроме того, определение должно быть корректным для арифметики 𝔸, к которым принадлежат элементы пары. Например, определяя умножение для пары натуральных чисел, нельзя использовать вычитание, а только сложение и умножение.
Это достаточно жёсткие ограничения, которые существенно ограничивают нашу фантазию. Мы гарантированно выполним их, если будем рассматривать линейные комбинации элементов пар.
Линейность в математике имеет чёткое определение: оператор или функция F(x) линейна, если выполняется следующее отношение:
для любых чисел λ, μ и аргументов x, y, для которых определены умножение на число и сложение. В нашем случае, все эти числа и аргументы должны принадлежать арифметике 𝔸.
Вот простой и интуитивно понятный пример: в линейных системах сумма a + a всегда равна произведению 2a. Это прямое следствие дистрибутивности умножения (распределительного закона) выглядит банальностью, но только потому что все арифметики с которыми мы имеем дело, линейны, и нам не приходится задумываться об этом. Если искусственно определить умножение каким-либо нелинейным образом, то сохранение дистрибутивности станет существенно нетривиальной проблемой.
Таким образом, мы можем смело записать произведение двух пар элементов арифметики 𝔸 в самом общем виде, как линейную комбинацию их элементов, и получить такую "колбасу":
в которой все индексированные коэффициенты тоже принадлежат 𝔸.
Линейными комбинациями, операторами и преобразованиями занимается старая добрая линейная алгебра, из которой родом и векторы, и скалярные произведения (обобщение линейных комбинаций) и матрицы, как удобный универсальный способ записи линейных операторов и преобразований пространства. Так, что все первокурсники мира, имеющие хоть какое-то отношение к точным или инженерным наукам, изучают линейную алгебру, как lingua franca математики.
Давайте перепишем общий вид произведения, в форме линейного преобразования, то есть, матрицы:
Здесь, в духе абстрактной алгебры, умножение чисел рассматривается как действие одного числа на другое. Все числа и операции в этом выражении определены для арифметики 𝔸, а все векторные и матричные операции — стандартные.
Пока кажется, что стало сложнее, абстрактнее и непонятнее. Ничего удивительного, это же самый что ни на есть общий вид для возможной операции умножения над парами. Главное, что благодаря использованию матриц мы избавились от "магических" видов умножения, сведя всё к линейным комбинациям и операциями над натуральными числами.
Давайте посмотрим, как в матричном виде выглядит умножение для наших моделей:
целые числа:
гауссовы числа:
А вот так всё выглядит гораздо лучше! Более того, мы можем и вовсе отказаться от векторов, перейдя исключительно на матричную модель наших чисел.
Вспомним, что для умножения во всех числовых системах выполняется сочетательный закон: (a×b)×c = a×(b×c). Если мы запишем это правило в модели целых чисел, как для пар, так и для матриц, то получим следующие эквивалентные соотношения:
Это жонглирование скобками говорит нам о важной вещи: пары и матрицы ведут себя относительно умножения одинаково. Действительно, при перемножении этих матриц правильные комбинации оказываются на правильных местах в матрице:
Но если первая строчка выглядит искусственно, то вторая вытекает из стандартного матричного умножения. Теперь, если мы учтём, что матрицы складываются покомпонентно, получается, что эта эквивалентность сохраняется и относительно сложения. Так что можно написать, что для модели целых чисел
Выходит, один только правильный выбор матрицы, задающей модель числовой системы, полностью определяет всю арифметику, без необходимости введения каких-то искусственных правил.
Тоже самое относится и к модели гауссовых чисел. Если мы перейдём от пар к матрицам:
то используя только стандартные матричные операции, мы получим действующую модель комплексной арифметики со сложением и умножением и всеми их свойствами. Например, сопряжению в этом представлении соответствует транспонирование матрицы.
Давайте ещё раз подчеркнём, в чём состоит разница подходов в построении моделей.
Матричные модели алгебраических структур (групп, колец, полей) называются их представлениями. Построением и исследованием таких моделей занимается целый раздел математики: теория представлений.
Оба описанных выше подхода практически важны и широко используются. Составление пар (прямое произведение) это базовый инструмент абстракции, то есть, создания новых объектов на основе существующих или хорошо известных. Комплексные числа, рациональные дроби, дуальные числа, кватернионы, наконец, сами вектора и матрицы, все они строятся на базе прямого произведения.
С другой стороны, многие математические структуры невозможно осмысленно описать иначе, чем через представления, например, группы и алгебры Ли, топологические группы, алгебраические системы, описывающие квантовые операторы и так далее.
О чем рассказывают матрицы
Но пока мы, кажется, поменяли шило на мыло. Если в моделях построенных на парах мы брали "с потолка" операцию умножения, то в представлениях нам придётся откуда-то взять подходящую "магическую" матрицу. Однако, представления это не просто альтернативный способ построения алгебраических систем. Матрицы позволяют дать осмысленную интерпретацию элементам наших пар.
Вернёмся к самому общему виду произведения:
Линейность даёт нам возможность разделить громоздкую матрицу на две части:
А вот это уже интересно! Матрицы коэффициентов, которые полностью характеризуют нашу числовую систему, независимы от конкретных элементов в парах, и они способны разделить информацию, касающуюся каждого элемента пары по отдельности. Давайте взглянем как эта декомпозиция работает в наших двух моделях:
Единичная матрица имеет совершенно очевидный смысл — это олицетворение единицы, то есть, нейтрального элемента для умножения. Тот элемент, который умножается на эту матрицу, отвечает за "ванильную" (натуральную или вещественную) часть числа, а второй добавляет изюминку и, собственно, отвечает за добавление функционала, которого не было в начальной алгебраической структуре. Давайте выясним что представляют собой эти изюминки.
Что отличает целые числа от натуральных? В натуральных числах нет числа −1, имеющего важное мультипликативное свойство: при возведении в квадрат оно даёт единицу, но само при этом отлично от единицы. А добавив этот новый элемент, мы можем получить и ноль, и отрицательные числа.
В матричном представлении целых чисел добавка представляет собой матрицу, которая не равна и не пропорциональна единичной, но при умножении её саму на себя, она превращается в единичную матрицу:
Из этого мы можем заключить, что эта матрица, действительно, представляет элемент −[1]. В сумме с единичной матрицей она, как полагается, даёт элемент, эквивалентный [0]:
А что представляет собой секретный ингридиент в комплексных числах? Это такое число, которое при возведении в квадрат даёт −1. Давайте проверим, выполняет ли такую роль матрица, представляющая мнимый компонент:
И в самом деле, работает, ведь единичная матрица представляет вещественную единицу.
Расширение алгебраической структуры
Вернёмся к обобщённому взгляду. Матричные представления числовых систем позволили нам разглядеть в формальном и лишённом структуры прямом произведении (абстрактных парах) важную структуру: линейную комбинацию двух независимых компонент. Одна компонента при этом представляет базовую арифметику 𝔸, а другая пропорциональна элементу, не существующему в 𝔸. Эта добавка сосредотачивает в себе очень конкретные мультипликативные свойства новой арифметики и определяет каким будет умножение в ней.
При этом, вся исходная арифметика полностью содержится в новой, как подсистема. Ею можно пользоваться, если "обнулить" добавку. Опять же, если вам кажется, что это банальная мысль, то вспомните нашу модель кольца целых чисел, в которой элементы пары, а значит и коэффициенты в линейной комбинации, не могут быть равны нулю, поскольку ноль не содержится в натуральных числах. Тем не менее, арифметика натуральных чисел содержатся в арифметике целых чисел, причём, в бесконечном числе копий.
Процедура добавления к алгебраической структуре (полукольцу, кольцу или полю) 𝔸 элемента x, которого в ней нет, но который в линейной комбинации с элементами 𝔸 вновь порождает корректную алгебраическую структуру, называется расширением 𝔸, и обозначается как 𝔸(x). Для того, чтобы подчеркнуть свойства добавляемого элемента, он определяется уравнением, корнем которого он является. Так, в частности, гауссовы числа расширяют кольцо целых чисел, добавляя к нему корень многочлена x² + 1 = 0. Это обозначается так:
В случае гауссовых чисел это уравнение неразрешимо в исходной арифметике, но оно может быть и разрешимым, просто исходная арифметика содержит не все его корни. Так в примере с расширением полукольца натуральных чисел до кольца целых с помощью добавления −1, мы добавляем элемент, решающий уравнение x² = 1, но не равный 1. Так что можно записать, что
Значок ≃ показывает, что мы имеем дело не с равенством, а с изоморфизмом, который включает в себя известное отношение эквивалентности.
Подведëм итог
От пар (прямого произведения) чисел с искусственными операциями, моделирующих числовые системы, мы перешли к представлениям этих систем, которые живут по законам линейной алгебры. Представления, в свою очередь, снова вернули нас к парам, но наделили их несколько более отчëтливым смыслом: линейной комбинации двух независимых компонент. Одна из этих компонент отвечает за базовую арифметику, а вторая расширяет её, добавляя некоторый новый элемент. Свойства этого элемента и свойства новой алгебры полностью определяются мультипликативными свойствами одной единственной матрицы, представляющей добавку.
Самое замечательное то, что про матрицы мы знаем всё. И надо сказать, что матриц 2×2, имеющих примечательный алгебраический и геометрический смысл, не так уж и много, и их можно определëнным образом классифицировать, а это значит, что можно получить исчерпывающую классификацию возможных арифметик над двумерными модулями.
Вот это уже — математика!