Признаки делимости - это необходимые знания для ЕГЭ и олимпиад по математике и информатике. Признаки делимости изучают в школьном курсе уже в 5-6 классах, а применяются эти знания вплоть до окончания школы - в ЕГЭ и олимпиадах.
Эта статься продолжает серию статей по теории чисел.
Предыдущие статьи:
- Теория чисел. Введение - о том, почему теория чисел нужна на ЕГЭ и олимпиадах по математике и информатике.
- Множества - описаны стандартные множества, в моих статьях по теории чисел в основном речь о целых числах.
- Системы счисления - статья о том как записываются числа.
- Делимость - терминология и свойства делимости: делитель, кратное, простые/составные числа.
О признаках и свойствах
Оба термина - признак и свойство, распространены в разных разделах математики.
Эти два термина схожи в том, что являются правилами, которые позволяют установить один факт по другому.
Отличие заключается в том, что признак относится к тому, что получают, а свойство - к тому, из чего исходят.
Признаки делимости позволяют установить делится ли число на другое число, не выполняя деления самого числа, а на основе анализа цифр числа.
Признаки делимости на 2, 5, 3 и 9
Признаки делимости на 2 (четность), 5, 3 и 9 являются наиболее простыми и часто встречающимися в заданиях. Напомню, что число называется четным, если это число делится на 2 и нечетным в противном случае.
Признак делимости на 2
Четность числа такая же как четность последней цифры. Т.е. число четно (делится на 2), если последняя цифра этого числа - четная, и нечетно, если последняя цифра - нечетная.
Примеры:
- 123 - нечетное число, т.к. последняя цифра 3 - нечетная.
- 134 - четное, т.к. последняя цифра 4 - четная.
Признаки делимости на 3 и на 9
Признаки делимости на 3 и на 9 схожи.
Число делится на 3 если сумма цифр числа делится на 3.
Число делится на 9 если сумма цифр числа делится на 9.
Примеры:
- Число из девяти единиц 111111111 делится на 9, поскольку сумма цифр этого числа 9 - делится на 9.
- Число 123123 имеет сумму цифр 12 поэтому делится на 3, а на 9 уже не делится.
- Число 1234 имеет сумму цифр 10 и не делится на 3.
Признак делимости на 5
Число делится на 5, если последняя цифра этого числа 0 или 5.
Например, числа 1230 и 1245 делятся на 5, а 123 нет.
Признаки делимости на 4, 8 и 25
Признаки делимости на 4, 8 и 25 хоть и более редки чем на 2, 5, 3 и 9, но все же бывают полезны и желательно эти признаки знать.
Признак делимости на 4
Число делится на 4, если две последние цифры этого числа образуют число кратное 4.
Примеры:
- 1308 делится на 4, т.к. последние две цифры образуют число 8, кратное 4 (незначащий ноль в 08 убираем).
- 1234 не делится на 4, т.к. последние две цифры образуют число 34 которое на 4 не делится.
Признак делимости на 8
Число делится на 8, если три последние цифры этого числа образуют число кратное 8.
Примеры:
- 1208 делится на 8, т.к. последние три цифры образуют число 208 кратное 8.
- 1324 не делится на 8, т.к. последние три цифры образуют число 324 которое на 8 не делится.
Признак делимости на 25
Число делится на 25, если две последние цифры этого числа: 00, 25, 50 или 75.
Например, число 1275 делится на 25, а 555 нет.
Признак делимости на 11
Признак делимости на 11 более сложный чем предыдущие. Этот признак в чем-то похож на признаки делимости на 3 и 9. Отличие в том, что в признаке делимости на 11 сумма цифр берется с чередующимися знаками + и -.
Итак признак:
Число делится на 11 если знакочередующаяся сумма цифр этого числа делится на 11.
Примеры:
- 121 делится на 11, т.к. 1 - 2 + 1 = 0 - делится на 11.
- 2519 делится на 11, т.к 9 - 1 + 5 - 2 = 11 - делится на 11.
- 123 не делится на 11, т.к. 3 - 2 + 1 = 2 - не делится на 11.
Почему признаки делимости такие?
Все дело в том, что мы записываем числа в десятичной системе счисления. В десятичной записи цифра десятков умножается на 10, сотен на 100 и т.д. И каждое такое произведение кратно 10, а значит и 2 и 5, ведь это делители 10. Поэтому делимость числа на 2 или 5 зависит от того делится ли последняя цифра.
Например, давайте возьмем число 12a, где a - некоторая цифра.
Тогда 12a = 120 + a, 120 кратно 2 и 5, поэтому если a делится на 2 или 5 то и 12a тоже делится.
Аналогично 12ab = 1200 + ab, и раз 1200 кратно 100, то если ab делится на 4 или 25 то и число 12ab делится.
Признаки на 3, 9 и 11 такие потому, что 9 и 11 отличаются на 1 от 10. Здесь проще пояснить на примере трехзначного числа abc = 100a + 10b + c.
Представим сначала 100 как 99 + 1, а 10 как 9 + 1. Получится
abc = (99 + 1)a + (9 + 1)b + c = 99a + a + 9b + b + c = 99a + 9b + a + b + c. Первая часть 99a + 9b кратна 9 и 3, поэтому если a + b + c делится на 3 или 9, то и число abc делится.
Представим теперь 100 как 99 + 1, а 10 как 11 - 1. Получится
abc = (99 + 1)a + (11 - 1)b + c = 99a + a + 11b - b + c = 99a + 11b + a - b + c. Первая часть 99a + 11b кратна 11, поэтому если a - b + c делится на 11, то и число abc делится.
Существуют ли еще признаки делимости?
Да:
- Признаки делимости на некоторые числа можно получить из основных признаков. Например, число делится на 6, если последняя цифра четная и сумма цифр делится на 3.
- Есть признаки делимости на 7 и 13, основанные на том, что 1001 кратно этим числам. По аналогии с признаком делимости на 11 здесь берется знакочередующаяся сумма трехзначных чисел (либо того что осталось) начиная с конца. Эти признаки неудобны и едва ли могут пригодиться.
- Все рассмотренные признаки делимости являются частным случаем расширенных признаков делимости. Расширенные признаки делимости формулируются для остатков, а в остальном очень похожи на обычные.
- Поскольку признаки делимости связаны с системой счисления, для других систем счисления можно сформулировать признаки делимости исходя из того, чему равно основание системы счисления.
Упражнения
- К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
- Найдите наименьшее число делящееся на 36, в записи которого есть 10 цифр.
- Сформулируйте признак делимости на 3 в двоичной системе счисления.
© Сергей Бондаренко, 2023 г.
Теги: #математика #егэ #олимпиады #информатика #делимость