Делимость
Тема делимость является началом обширного раздела математики - теории чисел. О том, почему теория чисел заслуживает отдельного внимания при подготовке к экзаменам и олимпиадам по математике и информатике - в статье Теория чисел.
Тема делимость относится к целым числам. О стандартных множествах чисел в - статье: Множества чисел.
Делитель и кратное
Говорят что целое число a делится нацело (или просто делится) на целое число b, если результатом деления a на b является целое число. Также в таком случае говорят, что b делит или является делителем a, а число a является кратным b и пишут b|a.
Например, числа 1, 2, 3, 6 являются делителями числа 6, и можно написать 1|6 или 3|6. Можно также сказать, что 6 кратно числам 1, 2, 3, 6.
Четные и нечетные
Числа, делящиеся на 2 называются четными, а остальные - нечетными. Например, −2, 0, 4, 6 - четные, а −1, 5 - нечетные.
Простые, составные и 1
Термины простое число и составное число относятся только к натуральным числам.
Простым называют натуральное число, у которого ровно два различных натуральных делителя: 1 и само число.
Составными называют все остальные натуральные числа, кроме 1.
Число 1 не является ни простым ни составным.
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Примеры составных чисел: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...
Свойства простых и составных чисел
Свойства четности
- 0 - четное число, ведь 0/2 = 0 - целое.
- Противоположные числа имеют одинаковую четность. Например, 2 и (−2) четны, а 1 и (−1) нечетны.
- Сумма и разность двух чисел имеют одинаковую четность. Например 3 + 2 = 5 и 3 - 2 = 1 нечетны.
- Сумма двух четных чисел четна, сумма двух нечетных - четна, сумма четного и нечетного - нечетна.
- Сумма любого количества четных чисел четна.
- Сумма четного количества нечетных чисел четна. Например 1 + 3 + 5 + 7 = 16 - четно.
- Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна.
- Если хотя бы один из множителей в произведении четный то и произведение четно. Произведение нечетно только если все множители нечетны.
- Произведение двух последовательных целых чисел четно.
Свойства делимости
Основная теорема арифметики
Любое целое число большее 1 можно представить как произведение простых чисел. Такое представление единственно с точностью до порядка множителей.
Иными словами если есть два способа представить число как произведение простых чисел, то можно переставить множители в одном произведении чтобы получить другое.
Например: 12 = 2⋅2⋅3 = 3⋅2⋅2.
Для простых чисел разложение на простые множители максимально упрощается и произведение заменяется самим числом: 3=3.
Упражнения
© Сергей Бондаренко, 2023 г.
Теги: #математика #егэ #олимпиады #теориячисел #информатика