Математика — наука точная и имеет дело с идеальными моделями. Иногда это даже рассматривается как недостаток: мол, модели ваши, конечно, элегантны, изящны и красивы, но реальный мир быстро наведёт в этих идеальных построениях такой бардак, что на самом деле всё будет совсем не так, как вы, математики, описываете. И линий-то идеально прямых не бывает, и число 𝛑 мы никогда "точно" не узнаем, и большинство уравнений на свете решается только приближённо, в общем, это всё нереально правильно и упорядочено.
Всё верно, но математика, как Чак Норрис, настолько крута, то способна порождать и внутри идеальных моделей хаос, непредсказуемость и чёрт знает что! И, как полагается неимоверно крутому персонажу, она способна, как породить этот хаос, так и дать ему математически точное объяснение. Да, я из философов, считающих, что всемогущий создатель может создать камень, который он не сможет поднять. Знакомство с теорией разрешимости, собственно, и делает эту задачу признаком всемогущества. Об этом мы уже говорили на этом канале:
Мы начнём понемногу знакомиться с элементами теории хаоса. И для разгона, нам стоит познакомиться с некоторыми примерами систем, демонстрирующими крайне сложное поведение при исключительной простоте своей структуры.
За последние полвека сформировался набор классических примеров, кочующих из одного популярного введения в другое: аттрактор Лоренца, логистическое уравнение, двойной маятник, подкова Смэйла и т.п. Я, конечно, их упомяну, но мне бы хотелось показать что, кроме классики, есть хаотические системы, обойдённые вниманием, но, тем не менее, имеющие малую размерность и, порою, вполне ясные физические модели, при этом способные порождать красивые и сложные, примеры хаотического поведения, поддающиеся объяснению.
Поначалу мы не полезем в дебри теории, а просто поупражняемся в решении несложных задач математического моделирования, чтобы наработать опыт и полюбоваться прикольными картинками, как правило, фрактальными. Ведь все же любят фракталы, верно? Ну, поехали!
Прыгающий шарик
Первым примером станут идеальные прыжки идеального шарика на идеальном столике с идеальной пружинкой в поле силы тяжести, конечно же, идеальном.
Падение шарика линейно, колебания столика на пружинке линейно, все уравнения решаются аналитически. Что же может пойти не так?
Давайте засучим рукава и пройдёмся по этой задачке, как физики, начав с уравнений движения. Для падающего с высоты h шарика с массой m получим такую задачу Коши (дифференциальное уравнение, плюс начальные условия):
Для подпружиненного столика, на который падает шарик, такую задачу:
Оба уравнения не выражают ничего сложнее второго закона Ньютона. Координаты x и y отсчитываются в одной системе, с нулём в точке равновесия столика. Для простоты, положим что и столик и шарик имеют одинаковую массу.
При любом анализе мы заинтересованы в минимизации числа параметров. В нашем случае их четыре: масса шарика и столика, ускорение свободного падения, жёсткость пружины и начальное положение шарика. Подбирая подходящие масштабы длины и времени, мы способны свести их к одному параметру. Для этого станем измерять величины x и y в неизвестных пока единицах L, а время — в единицах T. Тогда наши уравнения и начальные условия можно переписать так:
Здесь переменные x и y безразмерны, а две точки обозначают производную по безразмерному времени.
Теперь мы можем выбрать такие масштабы, какие нам надо. Например, подобрать их так, чтобы все коэффициенты в уравнениях стали единичными:
Решив эту систему, получим:
в таких масштабах наши уравнения примут чудесный безразмерный вид:
с единственным параметром, тоже безразмерным — начальным положением шарика:
который, как нетрудно видеть, является отношением сил упругости пружины и тяжести.
Ну, что же, оба наших уравнения прекрасно решаются безо всяких премудростей в аналитическом виде: шарик — падает, столик — колеблется:
Здесь все параметры A, B, C, D берутся из начальных условий. Остался один нюанс: когда шарик, падая, сталкивается со столиком, они идеально упруго обмениваются импульсами, а так как массы у них одинаковые, то в момент их соударения происходит обмен скоростями, то есть, первыми производными.
Получается, что вместо численного решения дифференциальных уравнений можно просто рассчитать параболу и синусоиду, найти точку их пересечения, и в ней поменять начальные условия, передав шарику скорость столика, а столику — скорость шарика. После это продолжить расчёт. Точку пересечения параболы и синусоиды можно отыскивать численно, надёжным методом Ньютона.
Вот как может выглядеть решение, для x₀ = 1:
Ну, что же, шарик прыгает, столик дрыгается. Энергия в системе сохраняется (всё же идеально!), так что прыгать и дрыгаться таким образом система может неограниченно долго. Чего же тут может быть интересного?
Включаем стробоскоп
Смотреть на траектории шарика и столика прикольно только на протяжении пары десятков ударов, дальше, становится неинтересно, потому что информация не накапливается и анализировать её приходится в динамике, что непросто. Здесь может пригодиться полезный прибор — стробоскоп. Помните, как занятно замирают танцующие люди в мерцающем стробоскопическом свете? Пока происходит свободное движение шарика со столом, смотреть особенно не на что, мы можем включать "вспышку" стробоскопа в момент их соударения и фиксировать состояние системы в эти моменты. Так мы сможем накопить информацию о сотнях и тысячах соударений.
Своеобразная картина: не просто невнятный туман, а туман с каким-то намёком на структуру. Впрочем, никакой особой закономерности в этом "сигнале" не усматривается. Давайте воспользуемся нашей единственной "ручкой" настройки системы и станем менять высоту с которой падает шарик на неподвижный столик.
Система "ожила". Для небольших начальных высот движение регулярное, но по мере достижения определённого порога оно становится сложным и напоминает какие-то инопланетные сигналы из научной фантастики.
Простое регулярное (периодическое) движение можно различить глазами, но лучше с этим справляется спектр сигнала. Вот как он меняется при изменении x₀:
Теперь отчётливо видно, что при значениях параметра x₀ ≥ 1 нарушается периодичность ударов и начинается сложный сигнал. Кроме того, отклонения от периодичности появляются на интервале 0.7 < x₀ < 0.9. Спектральный анализ часто используется при работе с динамическими системами и позволяет получить качественную характеристику процессу, наряду с другими инструментами, такими как экспонента Ляпунова или размерность Хаусдорфа.
Однако частоты не сильно помогают нам выявить какую-то структуру сложного сигнала: видно, что он становится сложным и содержит все частоты, приближаясь по своим спектральным характеристикам к шуму. Для того чтобы увидеть нечто большее, стоит отказаться от временной шкалы и рассмотреть поведение нашей системы в фазовом пространстве.
Фазовым пространством называют пространство возможных состояний системы. В нашем случае двух уравнений второго порядка, это четырёхмерное пространство, образованное координатами шарика и столика, а также их скоростями. Задав точку в таком пространстве, мы полностью определяем систему и готовы рассчитать её будущее и описать её прошлое, ведь зная положения и скорости всех тел, мы способны корректно поставить и решить задачу Коши. По мере развития динамического процесса во времени, в фазовом пространстве формируется траектория этого процесса. Наша система распадается на две почти независимые подсистемы, взаимодействующие только в моменты столкновений. Так что фазовые траектории шарика и столика можно изобразить на одной плоскости. Вот как они выглядят в примере с x₀ = 1:
Фазовые траектории шарика принадлежат семейству параллельных парабол, а траектории столика представляют дуги концентрических окружностей. Однако, рассматривая траектории целиком, мы быстро получим невнятный клубок. Разобраться в нём нам опять поможет стробоскопический метод. Если мы сосредоточим своё внимание на моментах соударения шарика со столиком, то их координаты в эти моменты будут всегда одинаковы. Это означает, что множество всех состояний системы в моменьы столкновений оказывается целиком вложено в трёхмерную гиперплоскость четырёхмерного фазового пространства, для которой x = y. Давайте посмотрим на это множество для x₀ = 1:
Стало интереснее! Во-первых, мы видим уже не беспорядочное облако точек, в нëм проглядывается кое-какая структура с более или менее симметрично расположенными пустотами в море хаоса. Но самое примечательно свойство этого множества то, что оно, похоже, лежит на сфере, то есть, двумерно. Это означает, что существует какая-то жёсткая связь между координатами, какое-то уравнение, описывающее поверхность, которой принадлежат точки состояний.
С точки зрения физики, такое уравнение очевидно — это закон сохранения энергии в изолированной системе. Запишем сумму всех видов энергии в какой-то момент времени:
В безразмерном виде это выражение запишется так:
А так как в момент соударения x = y, то для множества стробоскопических точек мы получаем уравнение:
которое, действительно, описывает в пространстве (x, ẋ, ẏ) сферу c радиусом √(2x₀+1) и с центром в точке (−1, 0, 0). В этом легко убедиться, прибавив единицу к обеим частям уравнения и выделив полный квадрат по x.
Ну, что же, сфера это неплохо! Для неё можно построить карту, которая будет плоской и обозримой без всяких вращений, анимаций и прочих ухищрений. Но этим мы займëмся в следующий раз. А напоследок, позволю себе в качестве тизера, показать фазовый портрет нашей системы для фиксированного значения полной энергии системы, но с разными начальными условиями. Неправда ли, он похож на гигантскую газовую планету!
Продолжение здесь:
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!