И так, прежде чем доказать закон Клавия, необходимо составить таблицу истинности для логической операцией импликации А -> В
После завершения первой части статьи, я думал о том, как же записать таблицу истинности для импликации. В самом деле, почему при истинности двух, каких угодно утверждений А и В, всегда должно быть истинно утверждение "Если А, то В"? Или, например, почему при истинности некоторого утверждения В, утверждение "Если А, то В" - всегда истинно, независимо от того, какого утверждение А? А это действительно так.
И меня посетила мысль, о том, что можно попытаться получить форму "Если А, то В" из самой таблицы истинности. Например, способом исключения неподходящих по смыслу комбинаций истинностных значений всех логических операций. Ведь количество таких комбинаций для двух утверждений равно 16, что не так много. Как было замечено в предыдущей статье, известно, что все логические операции могут быть выражены через две или даже одну логическую операцию. Следовательно, если выбрать из 16 операций такие две, для которых не сложно составить таблицу истинности, то можно попытаться, с помочью них, выразить все остальные и затем попробовать сопоставить их по смыслу с формы "Если А, то В", исключая неподходящие.
В прошлой статье мы видели, что для двух утверждений А и В, существует четыре комбинации (четыре пары) их истинностных значений:
А - истинно, В - истинно <и, и>
А - истинно, В - ложно <и, л>
А - ложно, В - истинно <л, и>
А - ложно, В - ложно <л, л>
Какое-либо утверждение, составленное из А и В может быть истинным или ложным так, что каждой паре истинностных значений А и В, соответствует некоторое истинностное значение утверждения составленного из А и В. Значит, для любого утверждения составленного из А и В можно записать набор из четырех истинностных значений, например для дизъюнкции (эта таблица истинности была получена в ч.1 статьи):
< А, В> | А v В
<и, и> | <и>
<и, л> | <и>
<л, и> | <и>
<л, л> | <л>
Рассмотрим некоторое утверждение "? (А, В)", составленное из А и В (знак "?" означает пока неизвестный набор логических операций над А и В, например, ¬(А & ¬В) v ((А v В) & ¬А) или кокой-то другой), для которого справедлива такая таблица истинности:
< А, В> | ? (А, В)
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Нам уже известно, что эта таблица соответствует искомой логической операции, но интерес и возникшие сомнения побуждают это доказать.
Пусть А = ¬С, тогда:
< ¬С, В> | ? (¬С, В)
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Далее можно записать таблицу истинности для "? (¬С, В)", в зависимости он истинностных значений С и В, соответствующих предыдущей таблице:
< С, В> | ? (¬С, В)
<л, и> | <и>
<л, л> | <л>
<и, и> | <и>
<и, л> | <и>
Очерёдность записи пар истинностных значений С и В, не важна, поэтому запишем эти пары так, как в предыдущей таблице, перемещая и соответствующие им истинностные значения выражения "? (¬С, В)":
< С, В> | ? (¬С, В)
<и, и> | <и>
<и, л> | <и>
<л, и> | <и>
<л, л> | <л>
Добавим под знак вопроса дополнительные логические операции, над В и ¬С так, чтобы истинностные значения выражения "? (¬С, В)" соответствовали каждой паре истинностных значений С и В, так, как в исходной таблице истинности (напомню, что под знаком "?" имеется ввиду какой угодно набор логических операций над В и ¬С, удовлетворяющий таблице истинности). Получим:
< С, В> | ? (¬С, В)
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Теперь можно увидеть, что если вместо знака "?" подставить операцию дизъюнкции ("или"), то таблица истинности выполняется:
< С, В> | ¬С v В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Поскольку С и В могут быть любыми утверждениями, то мы можем обозначить их любыми другими буквами. Заменив С на А получаем:
< А, В> | ¬А v В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Таким образом, мы смогли выразить искомую логическую операцию - "? (А, В)", через две других. Теперь попробуем проанализировать это выражение. Выражение ¬А v В читается, как - "не верно, что А или верно что В" и, очевидно, говорит о следующем:
1. Если утверждение ¬А v В - истинно и А - истинно (т. е. ¬А - ложно), то В - необходимо истинно (1-я строка таблицы истинности) т. е. выражение ¬А v В утверждает "Если верно, что А, то обязательно верно, что В" или просто "Если А, то В" (А не может иметь места без В).
2. Если А - истинно (т. е. ¬А - ложно) и В - ложно, то утверждение ¬А v В - ложно (2-я строка таблицы истинности). Т. е., опять же, если А, то обязательно В иначе - ложь.
3. Если А - ложно (т. е. ¬А - истинно), то выражение ¬А v В утверждает, что В - либо истинно, либо ложно (3-я и 4-я строки таблицы истинности). Это означает, что, хотя, А и влечёт В, однако, В может иметь место и без А, т. е. если А, то обязательно В, но не наоборот. Это очень похоже на импликацию. Хорошо.
Но выражение ¬А v В, как будто более очевидно, определяет связь между А и В. Например, Если А - ложно, а В - истинны, то утверждение ¬А v В, очевидно, истинно. Однако почему, при этом, непременно должно быть истинно утверждение "Если А, то В"? Почему из какого угодно ложного утверждения непременно должно следовать какое-угодно истинное утверждение? В силу какой связи? Ведь утверждение "Если А, то В" не утверждает, что "Если не-А, то В"!
Распишем варианты:
1. Пусть, утверждение "Если А, то В" - истинно, тогда из истинного А обязательно следует истинное В (т.е. <и,и> | и). Но если нам не известно, что "Если А, то В" - истинно, но известно, что А и В - истинны, то "Если А, то В" - не определено! В самом деле, почему между истинными А и В вообще должна быть связь? (т.е. <и,и> | ?) Однако формальная логика утверждает, что это так.
2. Пусть, А - истинно, а В - ложно. Тогда, утверждение "Если А, то В", очевидно не может быть истинным, следовательно, оно ложно (т.е. <и,л> | л). Но если утверждение "Если А, то В" - ложно, то из А не следует В. Из чего, однако, не вытекает, что из А следует не-В. В самом деле, где утверждается, что из А должно что-то следовать?! (т.е. <и,? > | л). Тем не менее, формальная логика говорит, что В - ложно.
3. Пусть, А - всегда ложно, тогда "Если А, то В" - не может утверждать ничего действительного. Если же это так, то почему оно должно быть истинно?! (т.е. <л,и> | ? или <л,л> | ? ) Но формальная логика утверждает, что В - истинно.
Ясно, что истинностные значения утверждение "Если А, то В" - в общем не определены, и для его определенности не хватает каких-то дополнительных условий. Значит, намеченный нами план осуществить не удается.
Решение этой проблемы дано позже в этой статье:
Также сделал видео с подробным разбором:
Принимаем известную таблицу истинности для импликации и идём дальше:
< А, В> | А -> В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Доказательство закона Клавия в следующей статье:
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!
Источники:
1. Википедия - Закон Клавия
2. В. А. Бочаров, В. И. Маркин - Введение в логику: учебник. - М.: ИД "ФОРУМ": ИНФРА-М. 2008. - 506 с.