В статье "Логический закон Клавия ч.2. Об импликации" я пытался доказать правильность заполнения таблицы истинности для импликации (утверждения "Если А, то В"), но оказалось, что в некоторых случаях взаимосвязь истинности утверждений А и В с истинностью импликации лишена здравого смысла. Мне наконец удалось разрешить эту проблему. В этой статье я покажу, как доказать правильность заполнения таблицы истинности для импликации, и разберу причину, по которой возникают указанные затруднения. Для краткости, вместо "Если А, то В" буду писать "А влечет В".
Проще всего начать с прямого доказательства, которое приведено в конце статьи.
И так, преступим к доказательству основополагающего и важнейшего положения логики высказываний.
Непрямое доказательство
Рассмотрим утверждение "не-А или В". В нем утверждается, что истинно либо не-А, либо В, либо не-А и В одновременно истинны. Если же не-А и В одновременно ложны, то "не-А или В" утверждает ложь. Очень просто составить таблицу истинности для этого утверждения. В самом деле:
Если "не-А или В" - истинно, то возможны такие пары истинностных значений утверждений не-А и В:
не-А - истинно, В - истинно
не-А - истинно, В - ложно
не-А - ложно, В - истинно
Справедливо и обратное. Если имеют место такие пары истинностных значений не-А и В, то утверждение "не-А или В" - истинно.
Если же "не-А или В" - ложно, то:
не-А - ложно, В - ложно
И наоборот, если не-А - ложно и В - ложно, то "на-А или В" - ложно.
Перепишем эти комбинации относительно утверждений А и В:
Если "не-А или В" - истинно, то:
1) А - ложно, В - истинно
2) А - ложно, В - ложно
3) А - истинно, В - истинно
И наоборот, если имеют место такие пары истинностных значений А и В, то утверждение "не-А или В" - истинно.
Если же "не-А или В" - ложно, то:
4) А - истинно, В - ложно
И наоборот, если А - истинно и В - ложно, то "на-А или В" - ложно
Таким образом таблица истинности для утверждения "не-А или В" имеет вид:
< А, В> | не-А или В
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
Из комбинаций 1), 2) и 3) (для них "не-А или В" принимает значение истина) видно, что для пар истинностных значений А и В, в этих трех комбинациях:
a) Если А - истинно, то В - истинно, т.е. "А влечет В"
b) Если А - ложно, то либо В - либо истинно, либо ложно, т.е. "не-А влечет (В или не-В)"
c) Если В - истинно, то А - либо истинно, либо ложно, т.е. "не-В влечет (А или не-А)"
d) Если В - ложно, то А - ложно, т.е. "не-В влечет не-А"
Четвертая комбинация ( когда "не-А или В" - ложь) определяет одну пару А, В, для которой:
e) А и не-В одновременно истинны, т.е. "А и не-В"
Поскольку, выводы a), b), c) и d) истинны, то они должны выполнятся одновременно, следовательно должно быть истинно такое совместное утверждение:
f) (А влечет В) и (не-А влечет (В или не-В)) и (В влечет (А или не-А)) и (не-В влечет не-А)
Можно заметить, что:
1. Утверждения "А влечет В" и " не-В влечет не-А" - эквивалентны. Значит вместо одного можно подставить другое.
В самом деле, если А обязательно влечет В, то в случае ложности В, А должно быть ложно, т.е. (А влечет В) влечет (не-В влечет не-А). И наоборот, если не-В обязательно влечет не-А, то в случае ложности не-А (т.е. истинности А), не-В должно быть ложно (т.е. В должно быть истинно), т.е. (не-В влечет не-А) влечет (А влечет В).
Таким образом, утверждения "А влечет В" и "не-В влечет не-А" - либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, следовательно они эквивалентны.
2. Утверждение "не-А влечет (В или не-В)" - всегда истинно. В самом деле, при любых комбинациях истинностных значений А и В, соответствующих истинности какого-либо утверждения, составленного из А и В, для ложного А всегда имеется либо истинное В, либо ложное В, либо и то и то одновременно. Иначе говоря, истинность утверждения "не-А влечет (В или не-В)" может определять истинность какого-угодно утверждения, составленного из А и В.
3. Аналогично п.2, утверждение "В влечет (А или не В)" - всегда истинно.
Следовательно, совместное утверждение пункта f) можно переписать так:
(А влечет В) и "истина" и "истина" и (А влечет В), что равносильно утверждению "А влечет В".
Таким образом, если утверждение "не-А или В" истинно, то истинно утверждение "А влечет В". И наоборот, если истинно утверждение "А влечет В", то утверждение "не-А или В" - истинно. Следовательно, утверждения "не-А или В" и "А влечет В" - эквивалентны, т.е. вместо одного можно подставить другое.
В принципе этого, достаточно, но рассмотрим следствия вывода e)
Вывод e) означает, что если "не-А или В" - ложно, то истинно "А и не-В". И наоборот, если истинно "А и не-В", то "не-А или В" - ложно. Следовательно, утверждение "А и не-В" эквивалентно отрицанию утверждения "не-А или В", и отрицанию эквивалентного ему утверждения "А влечет В".
Таким образом, если истинно "не-А или В", то истинно "А влечет В", если же "не-А или В" - ложно, то истинно "не-(А влечет В)". И наоборот, если истинно "А влечет В", то истинно "не-А или В", а если истинно "не-(А влечет В)", то "не-А или В" - ложно.
Теперь можно записать таблицу истинности для утверждения "А влечет В":
< А, В> | А влечет В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Разбор ошибок попытки прямого доказательства
Непрямое доказательство помогло мне понять некорректность проблемных аргументов, которые возникли при попытке прямого доказательства, правильности заполнения таблицы истинности для утверждения "А влечет В". Рассмотрим попытку прямого доказательства в той последовательности, в которой я пытался это сделать изначально, и посмотрим какие ошибки были допущены. После чего я приведу правильное прямое доказательство.
И так, "А влечет В" утверждает, что:
1. Если А принимает значение "истина", то В принимает значение "истина", т.е. "А влечет В".
Проблемный аргумент: Но из истинности А и В не следует истинность "А влечет В", поскольку между А и В может и не быть какой-либо связи.
Ошибка здесь в том, что я полагал необходимым наличие связи между ситуациями, описываемыми утверждениями А и В, которой в действительности может и не быть. Формально же, связь существует между истинностными значениями А и В, но это нельзя здесь увидеть, поскольку, как было показано, она вытекает из сочетания пар истинностных значений А и В.
2. Если А - истинно, а В - ложно, то "А влечет В", очевидно, - ложно.
Проблемный аргумент: Если же "А влечет В" - ложно, то это означает, что из истинности А не следует истинность В. Но из того, что это так, не следует, что А - истинно, а В - ложно. В самом деле, отсутствие связи между А и В, не доказывает, что А - истинно, а В - ложно.
Ошибка в том, что я полагал, что отрицание утверждения "А влечет В" указывает на отсутствие связи между утверждениями А и В. Но эта связь есть и она организована так, как было показано выше.
3. Проблемный аргумент: пусть, А - всегда ложно (например, утверждение, которое выражает невозможную в действительности ситуацию), тогда "А влечет В", не может утверждать ничего действительного, поскольку то, что невозможно в действительности, не может быть связано с чем либо еще. Следовательно, "А влечет В" не выражает ничего действительного и не может быть истинным.
Ошибка в том, что ложность А, не означает отсутствия всякой связи между утверждениями А и В, но эта связь формально имеется.
Таким образом, для всех пунктов, суть возражений заключалась в том, что отсутствие содержания утверждений А и В, указывает на отсутствие связи между утверждениями А и В. Но эта связь есть, поскольку в утверждении "А влечёт В" связаны их истинностные значения.
Прямое доказательство
"А влечет В" утверждает, что из всех пар истинностных значений А и В, может иметь место только такой набор пар, для которого верно, что:
1. Пара с истинным А встречается только один раз, при этом, В обязательно истинно. Что обеспечивает "А влечет В".
2. Не может быть только одной пары с истинным В, при этом А - либо истинно, либо ложно. Следовательно, не обязательно, что "В влечет А" (эквивалентное "не-А влечёт не-В").
3. Пара с ложным В встречается только один раз, при этом, А обязательно ложно. Что обеспечивает "не-В влечет не-А" (эквивалентное "А влечет В").
4. Не может быть только одной пары с ложным А, при этом В - либо истинно, либо ложно. Следовательно, не обязательно, что "не-А влечет не-В" (эквивалентное "В влечет А").
Рассмотрим все пары истинностных значений А и В:
a) А - истинно, В - истинно
b) А - истинно, В - ложно
c) А - ложно, В - истинно
d) А - ложно, В - ложно
Условию 1 соответствует пара a)
Условию 2 соответствуют пары a) и c)
Условию 3 соответствует пара d)
Условию 4 соответствуют пары с) и d)
Таким образом, выполнению всех 4-х условий соответствует набор пар a), с) и d). Следовательно, "А влечет В" истинно, когда могут иметь место пары истинностных значений a), с) и d), и ложно тогда, когда имеет место пара истинностных значений b).
Получаем таблицу истинности для "А влечёт В":
< А, В> | А влечет В
<и, и> | <и>
<и, л> | <л>
<л, и> | <и>
<л, л> | <и>
Как видно, прямое доказательство проще, но требует правильного понимания логики формального следования, которая в случае прямого доказательства совсем не очевидна.
Теперь наконец ясно, что на самом деле означает утверждение "Если А, то В" в логике высказываний. Связь утверждений А и В, в логике высказываний, имеет место вне зависимости от содержания А и В, но в силу связи накладываемой утверждением "Если А, то В" на истинностные значения А и В.
На эту тему сделал также видео с подробным разбором:
Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал!