{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{"image":{"id":"65be2fe0bf878653f53c5261"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:image","key":"346ds"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В статье \"Логический закон Клавия ч.2. Об импликации\" я пытался доказать правильность заполнения таблицы истинности для импликации (утверждения \"Если А, то В\"), но оказалось, что в некоторых случаях взаимосвязь истинности утверждений А и В с истинностью импликации лишена здравого смысла. Мне наконец удалось разрешить эту проблему. В этой статье я покажу, как доказать правильность заполнения таблицы истинности для импликации, и разберу причину, по которой возникают указанные затруднения. Для краткости, вместо \"Если А, то В\" буду писать \"А влечет В\".","type":"unstyled","key":"9orjo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Проще всего начать с прямого доказательства, которое приведено в конце статьи. ","type":"unstyled","key":"dspf4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И так, преступим к доказательству основополагающего и важнейшего положения логики высказываний.","type":"unstyled","key":"4dc1m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Непрямое доказательство","type":"header-three","key":"edvu0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим утверждение \"не-А или В\". В нем утверждается, что истинно либо не-А, либо В, либо не-А и В одновременно истинны. Если же не-А и В одновременно ложны, то \"не-А или В\" утверждает ложь. Очень просто составить таблицу истинности для этого утверждения. В самом деле:","type":"unstyled","key":"27gjh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если \"не-А или В\" - истинно, то возможны такие пары истинностных значений утверждений не-А и В:","type":"unstyled","key":"ge0f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"не-А - истинно, В - истинно","type":"unstyled","key":"anfpp"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"не-А - истинно, В - ложно","type":"unstyled","key":"bmcii"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"не-А - ложно, В - истинно","type":"unstyled","key":"3po6o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Справедливо и обратное. Если имеют место такие пары истинностных значений не-А и В, то утверждение \"не-А или В\" - истинно.","type":"unstyled","key":"1jr7v"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если же \"не-А или В\" - ложно, то:","type":"unstyled","key":"6a6eu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"не-А - ложно, В - ложно","type":"unstyled","key":"66gke"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И наоборот, если не-А - ложно и В - ложно, то \"на-А или В\" - ложно.","type":"unstyled","key":"2a3oq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Перепишем эти комбинации относительно утверждений А и В:","type":"unstyled","key":"99gap"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если \"не-А или В\" - истинно, то:","type":"unstyled","key":"1a8av"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1) А - ложно, В - истинно","type":"unstyled","key":"8uugt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2) А - ложно, В - ложно","type":"unstyled","key":"cco28"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3) А - истинно, В - истинно","type":"unstyled","key":"77kqt"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И наоборот, если имеют место такие пары истинностных значений А и В, то утверждение \"не-А или В\" - истинно.","type":"unstyled","key":"89eld"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Если же \"не-А или В\" - ложно, то:","type":"unstyled","key":"1a3n5"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"4) А - истинно, В - ложно","type":"unstyled","key":"8f8d2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И наоборот, если А - истинно и В - ложно, то \"на-А или В\" - ложно","type":"unstyled","key":"4l6ah"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом таблица истинности для утверждения \"не-А или В\" имеет вид:","type":"unstyled","key":"97kg6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"< А, В> | не-А или В","type":"unstyled","key":"asaek"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, и> | <и>","type":"unstyled","key":"fh1db"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, л> | <и>","type":"unstyled","key":"5h7ta"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, и> | <и>","type":"unstyled","key":"fkvou"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, л> | <л>","type":"unstyled","key":"ec0oe"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Из комбинаций 1), 2) и 3) (для них \"не-А или В\" принимает значение истина) видно, что для пар истинностных значений А и В, в этих трех комбинациях:","type":"unstyled","key":"957ql"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"a) Если А - истинно, то В - истинно, т.е. \"А влечет В\"","type":"unstyled","key":"2p9sk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"b) Если А - ложно, то либо В - либо истинно, либо ложно, т.е. \"не-А влечет (В или не-В)\"","type":"unstyled","key":"ccvjs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"c) Если В - истинно, то А - либо истинно, либо ложно, т.е. \"не-В влечет (А или не-А)\"","type":"unstyled","key":"9ofm2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"d) Если В - ложно, то А - ложно, т.е. \"не-В влечет не-А\"","type":"unstyled","key":"68afg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Четвертая комбинация ( когда \"не-А или В\" - ложь) определяет одну пару А, В, для которой:","type":"unstyled","key":"86src"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"e) А и не-В одновременно истинны, т.е. \"А и не-В\"","type":"unstyled","key":"d80k2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Поскольку, выводы a), b), c) и d) истинны, то они должны выполнятся одновременно, следовательно должно быть истинно такое совместное утверждение:","type":"unstyled","key":"cdfct"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"f) (А влечет В) и (не-А влечет (В или не-В)) и (В влечет (А или не-А)) и (не-В влечет не-А)","type":"unstyled","key":"1m0gq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Можно заметить, что:","type":"unstyled","key":"b30i4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1. Утверждения \"А влечет В\" и \" не-В влечет не-А\" - эквивалентны. Значит вместо одного можно подставить другое.","type":"unstyled","key":"5pm2b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В самом деле, если А обязательно влечет В, то в случае ложности В, А должно быть ложно, т.е. (А влечет В) влечет (не-В влечет не-А). И наоборот, если не-В обязательно влечет не-А, то в случае ложности не-А (т.е. истинности А), не-В должно быть ложно (т.е. В должно быть истинно), т.е. (не-В влечет не-А) влечет (А влечет В).","type":"unstyled","key":"f3r5u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, утверждения \"А влечет В\" и \"не-В влечет не-А\" - либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, следовательно они эквивалентны.","type":"unstyled","key":"7f5lf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2. Утверждение \"не-А влечет (В или не-В)\" - всегда истинно. В самом деле, при любых комбинациях истинностных значений А и В, соответствующих истинности какого-либо утверждения, составленного из А и В, для ложного А всегда имеется либо истинное В, либо ложное В, либо и то и то одновременно. Иначе говоря, истинность утверждения \"не-А влечет (В или не-В)\" может определять истинность какого-угодно утверждения, составленного из А и В.","type":"unstyled","key":"uvj7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3. Аналогично п.2, утверждение \"В влечет (А или не В)\" - всегда истинно.","type":"unstyled","key":"c18tl"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Следовательно, совместное утверждение пункта f) можно переписать так:","type":"unstyled","key":"c8c6o"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"(А влечет В) и \"истина\" и \"истина\" и (А влечет В), что равносильно утверждению \"А влечет В\".","type":"unstyled","key":"f23cv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, если утверждение \"не-А или В\" истинно, то истинно утверждение \"А влечет В\". И наоборот, если истинно утверждение \"А влечет В\", то утверждение \"не-А или В\" - истинно. Следовательно, утверждения \"не-А или В\" и \"А влечет В\" - эквивалентны, т.е. вместо одного можно подставить другое. ","type":"unstyled","key":"kqt4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"В принципе этого, достаточно, но рассмотрим следствия вывода e)","type":"unstyled","key":"c34vi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Вывод e) означает, что если \"не-А или В\" - ложно, то истинно \"А и не-В\". И наоборот, если истинно \"А и не-В\", то \"не-А или В\" - ложно. Следовательно, утверждение \"А и не-В\" эквивалентно отрицанию утверждения \"не-А или В\", и отрицанию эквивалентного ему утверждения \"А влечет В\".","type":"unstyled","key":"51u9h"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, если истинно \"не-А или В\", то истинно \"А влечет В\", если же \"не-А или В\" - ложно, то истинно \"не-(А влечет В)\". И наоборот, если истинно \"А влечет В\", то истинно \"не-А или В\", а если истинно \"не-(А влечет В)\", то \"не-А или В\" - ложно.","type":"unstyled","key":"72p33"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теперь можно записать таблицу истинности для утверждения \"А влечет В\":","type":"unstyled","key":"fljvd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"< А, В> | А влечет В","type":"unstyled","key":"fn1qm"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, и> | <и>","type":"unstyled","key":"7d7ag"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, л> | <л>","type":"unstyled","key":"rinr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, и> | <и>","type":"unstyled","key":"61r08"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, л> | <и>","type":"unstyled","key":"8r7f9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Разбор ошибок попытки прямого доказательства","type":"header-three","key":"f85ts"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Непрямое доказательство помогло мне понять некорректность проблемных аргументов, которые возникли при попытке прямого доказательства, правильности заполнения таблицы истинности для утверждения \"А влечет В\". Рассмотрим попытку прямого доказательства в той последовательности, в которой я пытался это сделать изначально, и посмотрим какие ошибки были допущены. После чего я приведу правильное прямое доказательство.","type":"unstyled","key":"d48tn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"И так, \"А влечет В\" утверждает, что:","type":"unstyled","key":"51rf2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1. Если А принимает значение \"истина\", то В принимает значение \"истина\", т.е. \"А влечет В\". ","type":"unstyled","key":"91clu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Проблемный аргумент: Но из истинности А и В не следует истинность \"А влечет В\", поскольку между А и В может и не быть какой-либо связи.","type":"unstyled","key":"cokb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ошибка здесь в том, что я полагал необходимым наличие связи между ситуациями, описываемыми утверждениями А и В, которой в действительности может и не быть. Формально же, связь существует между истинностными значениями А и В, но это нельзя здесь увидеть, поскольку, как было показано, она вытекает из сочетания пар истинностных значений А и В. ","type":"unstyled","key":"bnrs2"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2. Если А - истинно, а В - ложно, то \"А влечет В\", очевидно, - ложно. ","type":"unstyled","key":"2esb3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Проблемный аргумент: Если же \"А влечет В\" - ложно, то это означает, что из истинности А не следует истинность В. Но из того, что это так, не следует, что А - истинно, а В - ложно. В самом деле, отсутствие связи между А и В, не доказывает, что А - истинно, а В - ложно.","type":"unstyled","key":"55du1"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ошибка в том, что я полагал, что отрицание утверждения \"А влечет В\" указывает на отсутствие связи между утверждениями А и В. Но эта связь есть и она организована так, как было показано выше. ","type":"unstyled","key":"dacjd"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3. Проблемный аргумент: пусть, А - всегда ложно (например, утверждение, которое выражает невозможную в действительности ситуацию), тогда \"А влечет В\", не может утверждать ничего действительного, поскольку то, что невозможно в действительности, не может быть связано с чем либо еще. Следовательно, \"А влечет В\" не выражает ничего действительного и не может быть истинным.","type":"unstyled","key":"57ojj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Ошибка в том, что ложность А, не означает отсутствия всякой связи между утверждениями А и В, но эта связь формально имеется. ","type":"unstyled","key":"c0kv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, для всех пунктов, суть возражений заключалась в том, что отсутствие содержания утверждений А и В, указывает на отсутствие связи между утверждениями А и В. Но эта связь есть, поскольку в утверждении \"А влечёт В\" связаны их истинностные значения.","type":"unstyled","key":"97let"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Прямое доказательство","type":"header-three","key":"9nibq"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"\"А влечет В\" утверждает, что из всех пар истинностных значений А и В, может иметь место только такой набор пар, для которого верно, что:","type":"unstyled","key":"asfqb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"1. Пара с истинным А встречается только один раз, при этом, В обязательно истинно. Что обеспечивает \"А влечет В\". ","type":"unstyled","key":"gvjo"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"2. Не может быть только одной пары с истинным В, при этом А - либо истинно, либо ложно. Следовательно, не обязательно, что \"В влечет А\" (эквивалентное \"не-А влечёт не-В\"). ","type":"unstyled","key":"17ceh"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"3. Пара с ложным В встречается только один раз, при этом, А обязательно ложно. Что обеспечивает \"не-В влечет не-А\" (эквивалентное \"А влечет В\").","type":"unstyled","key":"4v6q0"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"4. Не может быть только одной пары с ложным А, при этом В - либо истинно, либо ложно. Следовательно, не обязательно, что \"не-А влечет не-В\" (эквивалентное \"В влечет А\"). ","type":"unstyled","key":"9hl1j"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Рассмотрим все пары истинностных значений А и В:","type":"unstyled","key":"aj8mu"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"a) А - истинно, В - истинно","type":"unstyled","key":"84dit"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"b) А - истинно, В - ложно","type":"unstyled","key":"9jv9f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"c) А - ложно, В - истинно","type":"unstyled","key":"f8orr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"d) А - ложно, В - ложно","type":"unstyled","key":"48a72"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Условию 1 соответствует пара a)","type":"unstyled","key":"53qfn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Условию 2 соответствуют пары a) и c)","type":"unstyled","key":"719ae"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Условию 3 соответствует пара d)","type":"unstyled","key":"81sub"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Условию 4 соответствуют пары с) и d)","type":"unstyled","key":"79n2n"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Таким образом, выполнению всех 4-х условий соответствует набор пар a), с) и d). Следовательно, \"А влечет В\" истинно, когда могут иметь место пары истинностных значений a), с) и d), и ложно тогда, когда имеет место пара истинностных значений b).","type":"unstyled","key":"8palk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Получаем таблицу истинности для \"А влечёт В\":","type":"unstyled","key":"5ab69"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"< А, В> | А влечет В","type":"unstyled","key":"4hlkj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, и> | <и>","type":"unstyled","key":"ffl7n"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<и, л> | <л>","type":"unstyled","key":"ankom"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, и> | <и>","type":"unstyled","key":"5i7am"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"<л, л> | <и>","type":"unstyled","key":"3objj"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Как видно, прямое доказательство проще, но требует правильного понимания логики формального следования, которая в случае прямого доказательства совсем не очевидна.","type":"unstyled","key":"7k20a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Теперь наконец ясно, что на самом деле означает утверждение \"Если А, то В\" в логике высказываний. Связь утверждений А и В, в логике высказываний, имеет место вне зависимости от содержания А и В, но в силу связи накладываемой утверждением \"Если А, то В\" на истинностные значения А и В.","type":"unstyled","key":"8jtb7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"На эту тему сделал также видео с подробным разбором:","type":"unstyled","key":"1ebg7"},{"data":{"embedData":{"type":"yandex-zen-video","uuid":"v6OeRApOYeDQ","previewImageData":{"id":"65f01e626f8a3a56477e67c4","groupId":271828,"imageName":"pub_65ef4aa1f7d308079f61e2a6_65f01e626f8a3a56477e67c4","namespace":"zen_doc","meta":{"mainColor":"#080808","origFormat":"JPEG"}},"publisherId":"631f8db3ec26cd63c1e3dae3","publicationId":"65ef4aa1f7d308079f61e2a6","publisherName":"Ф|Б","publisherAvatar":{"id":"66086490aca2404a9168a84c","groupId":271828,"imageName":"pub_631f8db3ec26cd63c1e3dae3_66086490aca2404a9168a84c","namespace":"zen-logos","meta":{"mainColor":"#D0D0D0","origFormat":"PNG"}},"isPublisherVerified":false,"publishTime":1710242300181,"title":"Логика ч.4 Импликация. Подробный разбор. Проблемы и парадоксы.","duration":2657000,"avatarsHost":"avatars.dzeninfra.ru","lang":"ru","isMobile":true,"isNewZenVideoEmbedEnabled":true,"customParams":{"signed_url":"T37odyd89GA3uWG0R_XStJ8PIG-W43KlrDAmlJ8XwDiMsojS3UVkPoywacLCsIZVQdiqp0AQ1Oc"}}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"atomic:embed","key":"f8u2e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":71,"offset":0,"style":"ITALIC"}],"text":"Ставьте лайки, делайте комментарии и не забудьте подписаться на канал! ","type":"unstyled","key":"3hq51"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"unstyled","key":"acbhc"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"kcKC04knKEY9tiOYJ5Ra"}],"entityMap":{}},"mentions":[]}