Введение
Допустим у нас есть функция f(x) = x²+1 построим график функции. Типичная парабола теперь давайте найдем точки в которых функция равна нулю, то есть ищем корни, на графике в этих точках парабола должна пересекать ось x, как можно заметить на (рис.1) таких точек нет значит если верить этому графику уравнение x²+1=0 не имеет решений
Но есть нюанс двести с лишним лет назад ученый по фамилии Гаусс (рис.2), доказал, что любой многочлен f: deg(f)=n (где deg-степень многочлена) имеет ровно n корней. У нас многочлен второго порядка или второй степени, значит корня должно быть два, кстати то что доказал гаусс сегодня называют основной теоремой алгебры, если ваш график противоречит ни много, ни мало основной теореме алгебры это достаточное основание, чтобы призадуматься.
Итак Гаусс сказал, что у нас обязана быть пара таких значений x при которых функция f(x)=0, но где и как нам их искать, если коротко нам нужно больше чисел. Может показаться, что все возможные числа существуют на одномерной бесконечной прямой числовой оси. Здесь все наши друзья ноль единица и отрицательные числа и даже иррациональным числам место нашлось(рис.3), но кое чего здесь не хватает и искать их надо не где-то правее или левее, они живут в другом измерении.
Это понимание позволило справиться с задачей которая до тех пор считалось нерешаемой и найти число квадрат, которого равен минус единице. Где его искать становится понятно, если добавить новое измерение графику. Теперь у каждого числа есть два измерения(рис.4), и пусть это не полное решение уравнения x²+1=0.
Из того что получилось видно, что график все таки пересекает ось x это значит решение есть просто мы их не там искали, но почему так много людей даже не догадываются об этом измерении? Часть вины я возлагаю на довольно странное название. Звучит так словно кто-то нафантазировал несуществующую вещь, сам Гаусс был не в восторге от термина мнимого числа " Cам тремин окутан завесой тайн и мистических домыслов по вине ней самой удачной нотации, используя другие термины этого можно было бы избежать например если бы единица, минус единица и корень из минус единицы были числами прямыми, обратными и перпендикулярными соответственно. Мы же говорим положительные отрицательные и мнимые, а иные говорят невозможные."
Итак существует целое измерение так называемых мнимых чисел. Гаусс предлагал называть их перпендикулярными, но название не прижилось так исторически сложилось, но зачем нам понадобилось искать какие-то числа из другого измерения? Для начала давайте обсудим, как вообще появлялись новые числа. В начале пути людям было достаточно натуральных чисел 1 2 3 и так далее. Это простые инструменты для решения простых задач в то время числовая ось выглядело бы, как последовательность точек. С развитием цивилизации люди сталкивались с более сложными вопросами, когда начинать посевы, как делить землю, как следить за налогами и торговать, натуральные числа к сожалению уже не справлялись с подобными вычислениями. К счастью египтяне изобрели кое-что новое - дроби. Идея, что между числами могут быть другие числа стала настоящим технологическим прорывом и несколько тысяч лет ничего лучше не появлялась, пока к числам не добавили ноль и отрицательные, правда прижились они далеко не сразу.
Большинство не понимало, как их вообще интерпретировать,где в природе встретишь ноль или минус единицу? А люди всегда стремились избегать непонятного. Отношения к математике разных культур отличалось. Некоторые до последнего не принимали новые числа, не видя их связи с реальным миром, меж тем античное время давно закончилось, но скепсис никуда не делся. Буквально несколько веков назад математики сознательно шли на любые ухищрения, лишь бы убрать из уравнения отрицательные числа, но все же прогресс постепенно брал верх, с помощью отрицательных чисел так удобно, например считать долги, да и в целом они так и напрашиваются во многие математические задачи огромное количество вычислений без них не провести. Например простейшее алгебраическое уравнение x + 3 = 2 не имело бы корней, подобные уравнения считались бы нерешаемыми. Очень похоже на уравнение из начала статьи, думать что у этих задач нет решения вполне закономерно, ведь если пытаться объяснить их на примере получится: у меня было два яблока три из них я отдал сколько у меня осталось? Не удивительно, что услышав подобное люди начинали ждать подвоха, ведь вопрос получается бредовый.
Величайший умы XVIII века не до конца понимали суть отрицательных чисел. Леонард Эйлер (рис.5) даже как-то раз написал, что они больше бесконечности. Как вы уже заметили, отрицательные и мнимые числа имеют общие черты и задают нам интересные вопросы. Например, почему мы требуем от школьников и студентов легко решать то, что в свое время сбивало с толку самых выдающихся математиков в течение тысячелетий? Зачем мы признаем существование этих чисел, если в природе не существует материальных объектов, которые можно было бы описать этими числами? Как эти числа могут помочь нам решить исходное уравнение, о котором мы говорили в статье?
Итальянская математика.
Итальянец Сципион Дель Ферро размышлял над задачей чем-то похожей на уравнение из начала статьи. Сперва давайте взглянем на эту формулу(рис.1) обычно именно с ее помощью учат решать квадратные уравнения - те в которых максимальная степень переменной - квадрат, просто подставляете в формулу значения а,b и с, и получаете ответ.
Дель Ферро искал аналогичную формулу для более сложных уравнений - кубических(ax³+bx²+cx+d=0). Задача не из лёгких, поэтому он начал с более простого частного случая, где коэффициент при x² равен нулю (b=0), d отрицательное число ну то есть, как отрицательное, помните что в XVI веке с этим понятием было непросто, он записал уравнениe: x³+cx=d при условии,что c>0,d>0. Первым делом надо перенести все константы, то есть обычные числа на одну сторону, а по другую оставить все переменные т.е. x. C линейными уравнениями это просто: складываем, вычитаем, умножаем и делим, главное делать одно и то же с обеими частями. С квадратными уравнениями чуть труднее в них появляются квадратные корни, но в целом ничего сложного. Дель Ферро замахнулся на кубические уравнения и в итоге вывел формулу, правда пока только для частного случая, но она работала!(рис.2)
Достаточно было подставить нужные значения чуть чуть посчитать и все готово. Так исторически сложилось что в XVI веке математики зарабатывали на жизнь дуэлями, кто первый найдет корень уравнения тот и победил, а у Дель Ферро в кармане лежало новое секретное оружие.
Дальнейшие события достойны экранизации, но у нас есть время только на краткий пересказ. Будучи при смерти Дель Ферро поделился формулы со своим учеником Антонио Мария дель Фиоре. Антонио решил, что теперь не уязвим, по крайней мере в математике и вызвал на дуэль гораздо более опытного Никколу Тарталью, который в свою очередь хвалился, что у него есть формула для подобных кубических уравнений, как оказалось Тарталья блефовал, правда перед турниром он настолько испугался, надвигающегося позора, что все-таки вывел формулу и одержал решительную победу и тут же раскрыл формулу миру... Ну не совсем, долгое время Тарталья хранил ее в секрете, еще не раз использовал в бою. Через какое-то время талантливый математик Джероламо Кардано (рис.3) все-таки уговорил Тарталью поделиться. Переговоры были долгие и Кардано добился своего лишь, поклявшись хранить секрет, но однажды он наткнулся на сохранившуюся работу Дель Ферро - первооткрывателя этого решения. Кардано сделал вывод, что в секретности нет нужды и включил формулу в свою книгу "Великое искусство" (рис.4). Нарушение клятвы он оправдывал тем, что смог улучшить формулу вернув условия x² оставался ряд вопросов. В похожем на исходное уравнение x³=cx + d при определенных значениях c и d формула ломалась.
Например уравнение x³ = 15 x + 4, воспользовавшись формулой Кардано мы получим в решении корни из отрицательных чисел(рис. 5) и что делать с этой проблемой Кардано не знал.
Квадратный корень - это число, которое при умножении на себя дает значение, записанное под знаком корня: √(9) = 3, так как 3 * 3 = 9, но учтите, что √(9) = -3 поскольку минус на минус даёт плюс, а как быть с корнями отрицательных чисел? Чему равен √(-9) = ? 3 не подходит, -3 тоже, похоже тупик. Примерно так рассуждал Кардано. Он не знал чисел, которые могли бы решить подобную задачу. Вообще это не первый случай, когда корни из отрицательных чисел ломали расчеты. Обычно в таких ситуациях математики разводили руками и говорили, что задача не имеет решений зачастую, так и было вот только, если мы построим график кубической функции (рис.6), то увидим, что как минимум одно решение должно быть. Как не меняй коэффициенты график подобной функции пересекает ось x, хотя бы раз, а значит уравнение x³ = 15 x + 4 должен быть хотя бы один вещественный корень.
Таким образом, перед нами стоит задача, которая имеет точные решения, и у нас есть формула, которая, казалось бы, должна работать. Однако, когда мы объединяем эти два элемента, мы получаем странный результат, и мы не понимаем, что с этим делать. В математике и науке в целом иногда возникают ситуации, когда определенные законы перестают работать при определенных условиях. Обычно это указывает на то, что мы требуем выполнения чего-то невозможного, но иногда это означает, что нам нужно посмотреть на проблему с другой стороны. Открытия, которые сделали математики, пытаясь доработать формулу Кардано, навсегда изменили науку.
Решение проблемы Кардано.
После осознания того, что формула Кардано не работает при решении определенных кубических уравнений, сам Кардано понимал, что проблема должна иметь решение. Однако, квадратные корни отрицательных чисел сбивали его с толку. Несмотря на то, что он двигался в правильном направлении, все его попытки усовершенствовать формулу или привести уравнение к другому виду не приводили к успеху, а лишь возвращали его к исходной точке. Это требовало вмешательства следующего поколения математиков. Ученик Кардано, Рафаэль Бомбелли, нашел оригинальное и эффективное решение этой проблемы.
Нам нужно умножить некое число на себя, то есть возвести в квадрат и получить отрицательное число вот только ни положительные, ни неотрицательные числа тут не подходит. Бомбелли задумался, если задачу нельзя решить с помощью положительных/неотрицательных чисел, возможно существуют какие-то еще числа, а если так то стоило бы подумать как эти новые неизведанные числа назвать и как их обозначить.
Бомбелли подошел к вопросу практично не стал ничего выдумывать оставил квадратные корни из отрицательных чисел квадратными корнями из отрицательных чисел, так что теперь, если кто то говорил, что у задачи нет решений, он мог спокойно сказать, что они есть просто допустив, что квадратные корни из отрицательных чисел существует.
Рассмотрим самый простой пример √(-1) возможно Вы ждали нечто более впечатляющее от принципиально нового числа. На первый взгляд и правда ничего примечательного, но у него есть особое нужное нам свойство его квадрат дает -1, такого не могут ни положительные, ни неотрицательные числа, значит перед нами нечто принципиально новое. Может показаться, что здесь есть какой-то подвох, будто кто-то подгоняет решение под ответ, что уж, так часто бывает при первом знакомстве с мнимыми числами но как-то иначе объяснить вряд ли получится. Поначалу кажется, что подобные корни придумали для того, чтобы студентам жизнь медом не казалась. Давайте пока подытожим вышесказанное Кардано и Бомбелли знали, что их проблема имеет решение, но не могли его найти. Бомбелли понял, чтобы продвинуться дальше нужно расширить числовую систему, тем более что идея не новая так было и с дробями, и с нулем, и с отрицательными числами - все они появлялись только тогда, когда в них возникала необходимость настало время и для квадратного корня из минус единицы, но сперва надо разобраться как этим числом пользоваться, если это новое число является открытием,то оно должно обладать такими же свойствами какие есть уже у известных нам чисел, а точнее подчиняться тем же законам алгебры и арифметики. В целом тут все в порядке например мы можем разложить квадратный корень на множители независимо от того является ли число под ним положительным или отрицательным.
√(-25) =√(25)*√(-1) - это свойство позволяет выразить корень из отрицательного числа с помощью квадратного корня из минус единицы, то есть квадратный корень из любого отрицательного числа можно выразить как корень из положительного числа помноженный на корень из минус единицы. Проверка других алгебраических свойств √(-1) предлагается в качестве упражнения любознательному читателю.
Чтобы решить проблему Кардано, Бомбелли продолжил расчеты. Он знал, как выглядит график типичного кубического уравнения(рис.1) из него следует, что должно существовать решение без корней отрицательных чисел. Подобные функции всегда пересекают ось x в точке в интервале (-∞,+∞), отсюда Бомбелли сделал вывод, что все это возможно только, если корень из минус единицы сократится в процессе вычислений.
Он обозначил проблемные слагаемые как a + b*√(-1) и а - b*√(-1) (рис.2) оставалось найти эти константы а и b, чтобы убрать кубические корни возведем в куб обе части выражения сократив все, что можно получим не самую простую систему уравнений, но Бомбелли удалось с ней справиться с помощью нехитрого метода подбора.
Можно начать перебирать целые числа и окажется что 4 является корнем подставив ее вместо x можно найти коэффициенты a = 2, b = 1. Следовательно слагаемые равны 2 + √(-1) и 2 - √(-1), если возвести в куб, то мы получим то самое выражение с которого начинали но самое главное, если мы их сложим как нам велит выведенная формула, то получим 4 то есть корень исходного уравнения. Вот теперь проблема Кардано решена, что интересно √(-1) нет ни в условиях задачи, ни в ответе, однако мы смогли получить ответ только признав возможность существования подобных чисел и включив их в наши расчеты.
Позже выяснилось, что есть еще масса проблем, которые без таких чисел не решить притом не только в математике, но и в других науках.
Второе измерение чисел.
Бомбелли и его современники изначально не принимали мнимые числа всерьез, рассматривая их как "математические костыли". Ведь как можно было использовать корни отрицательных чисел для расчетов в реальном мире? Неудивительно, что мнимым числам пришлось пройти сложный путь от непонимания и скепсиса до их признания. Их называли разными именами: мнимыми, воображаемыми или даже невозможными. Впоследствии, примерно через сто лет, Эйлер предложил использовать латинскую букву "i" для обозначения корня из минус единицы, чтобы избежать повторений. Это стало удобным обозначением, хотя термин "мнимые числа" уже утвердился и продолжает использоваться. Остальные числа на числовой прямой были названы вещественными числами, объединяя в себе вещественную и мнимую части, и таким образом получилось комплексное число.
В то время мнимые числа, все чаще и чаще встречались в уравнениях особенно в дифференциальных, но их истинный смысл математики поняли только через двести с лишним лет после смерти бомбелли.
Прежде чем углубиться в эту тему давайте обсудим число i с алгебраической точки зрения. В отличие от большинства чисел i не увеличивается при возведении в степень
Рассмотрим старую добрую числовую прямую. Как помните на ней есть все возможные числа кроме мнимых их здесь пристроить негде. Давайте представим проблему с корнями отрицательных чисел в геометрическом виде.
Итак нам надо найти число, которое при умножении на себя даст отрицательное число. Для наглядности вместо привычных точек будем использовать стрелочки,то есть вектор, а при умножении положительного числа на себя же направлении стрелки не меняется. При умножении положительного на отрицательное стрелочка поворачивается на 180 градусов. Квадрат отрицательного всегда положительный, поскольку первый вектор "смотрит" влево, а второй разворачивает его на 180 градусов, поэтому квадрат числа никак не может оказаться на отрицательной половине числовой прямой, квадрат положительного числа всегда положительной.
Отрицательное число хоть и "смотрит" влево в начале, но после умножения на себя всегда "разворачивается", и тоже оказывается справа.
Нам же нужно нечто среднее, такое число при умножении на которое стрелочка повернется на 90 градусов, а не на 180. Этим свойством обладают мнимые числа. i² = -1 и находится в 90 градусах от положительных чисел, возводим в квадрат добавляем еще 90 градусов и вот мы попали на территорию отрицательных чисел полторы.
Вернемся к алгебре, а лучше совместимые с геометрией нам достаточно провести мнимую ось перпендикулярно числовой прямой, поскольку умножение на i разворачивает нас на 90 градусов. Допустим у нас есть единица умножив ее на i алгебраически мы получаем i, а в геометрическом приближение вращаем "стрелку" на 90 градусов, умножив еще раз на i получаем i² = -1, что сходится с новым положением стрелки. Каждая степень приводит к новому повороту и на четвертый раз мы возвращаемся к единице, что полностью повторяет алгебраическую закономерность. Самое важное понять, что мнимые числа неразрывно связаны с обычными, они живут рядом просто в перпендикулярном измерение, вот в чем истинная суть мнимых чисел это не какой-то хитрый фокус, чтобы подогнать решение под ответ они естественное продолжение нашей числовой системы ведь числа существует в двух измерениях и это открытие позволило математикам решать гораздо более сложные задачи. Применение нашли также ученые и инженеры из других областей наук.
Операции над комплексными числами.
Комплексные числа обладают теми же свойствами,что и вещественные:
- Сложение и вычитание.
- Умножение на вещественное число.
- Произведение двух и более комплексных чисел.
- Возведение в степень
- Сопряжение
- Частное двух и более комплексных чисел.
Сложение и вычитание:
Комплексные числа можно складывать и вычитать,поочередно, складывая или вычитая, мнимые и комплексные части. Пусть у нас есть два комплексных числа x+yi и a+bi,тогда:
(x+yi) + (a+bi)= x+a+yi+bi=(выносим i за скобки)=(x+a)+(y+b)i.
Аналогично для вычитания: (x+yi) - (a+bi) = (x-a)+(y-b)i.
Умножение на вещественное число:
Комплексные числа умножаются на некоторое вещественное числом,путем умножения каждой части на это число. Пусть у нас есть комплексное число x+yi и вещественное число а,тогда:
a*(x+yi)=a*x+a*yi=ax+ayi.
Произведение двух и более комплексных чисел:
Используя простые алгебраические свойства,получаем формулу для умножения двух комплексных чисел. Пусть есть два комплексных числа z₁ = x+yi и z₂ = a+bi,тогда:
z₁ * z₂ = (x+yi)*(a+bi)=x*a + x*bi+a*yi+y*b*i²=(i²=-1,складываем мнимые и вещественные части)=x*a-a*b+x*bi+a*yi = (x*a-a*b)+(x*b+a*y)*i.
Возведение в степень:
Пусть у нас есть комплексное число z = x+yi, тогда:
z² = (x+yi)(x+yi) = x²+x*yi+x*yi+y²*i² = x²+2x*yi-y²
Сопряжение:
Сопряженной величиной комплексного называется комплексное число с измененным знаком мнимой части и обозначается как z*.
Пусть есть комплексное число z = x+yi, тогда z* = x-yi.
Частное двух и более комплексных чисел:
Чтобы вычислить частное двух комплексных чисел, мы умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое число знаменателя.
Заключение.
Комплексные числа представляют собой мощный инструмент, который находит широкое применение в различных научных областях. Они позволяют нам работать с объектами и явлениями, которые не могут быть полностью описаны действительными числами. Вот некоторые из областей, где комплексные числа являются полезными и неотъемлемыми:
- Математика: Комплексные числа играют фундаментальную роль в математике, особенно в алгебре и анализе. Они используются для решения уравнений, моделирования физических и геометрических систем, а также в комплексном анализе.
- Физика: Комплексные числа находят применение в физике при описании колебательных и волновых процессов. Например, они используются для анализа электрических цепей в электротехнике, расчетов в оптике, а также в квантовой механике для описания волновых функций.
- Инженерия: В инженерных науках комплексные числа применяются во множестве областей, таких как электроника, сигнальная обработка, телекоммуникации и управление системами. Они позволяют анализировать и моделировать поведение системы, основываясь на комплексных амплитудах, фазах и частотах.
- Квантовая физика: В квантовой физике комплексные числа необходимы для описания состояний квантовых систем и выполнения математических операций с операторами. Они играют ключевую роль в формализме квантовой механики и являются основой для понимания многих квантовых явлений.
- Теория сигналов: Комплексные числа используются для анализа и обработки сигналов в различных областях, таких как радиоинженерия, акустика и обработка изображений. Комплексные амплитуды и фазы позволяют представить и работать с сигналами, которые меняются во времени и имеют как активную, так и реактивную составляющие.
Комплексные числа имеют огромное значение и применение во множестве научных дисциплин. Они являются мощным инструментом для решения сложных математических и физических задач, позволяют описывать и моделировать разнообразные системы и процессы. Без комплексных чисел многие современные научные достижения были бы невозможны.
