Занимательная Математика

Когда вы толкаете шкаф по полу или катаетесь на велосипеде — вы сталкиваетесь с трением. Это не просто “что-то мешает двигаться”, это целое физическое явление, без которого мы бы… скользили по полу, как на льду, и не смогли бы даже ходить! Трение двух твердых тел - достаточно сложное физическое явление, которое сопровождается нагреванием, электризацией, разрушением поверхностей, диффузией вещества и т.д. Трение — это сила, которая возникает при соприкосновении двух тел и препятствует их движению относительно друг друга...

Представьте: вы дёрнули струну на гитаре. Она изогнулась и тут же начала вибрировать, создавая звук. А теперь задумайтесь — можно ли заранее узнать, как именно она будет колебаться? Да! Для этого существует волновое уравнение — математический модель, по которой можно предсказать движение струны в любой момент времени. Когда вы оттягиваете струну, она деформируется. Если её отпустить, она начинает колебаться — туда-сюда, быстро, с определённой частотой. Эти колебания передаются воздуху — и вы слышите звук...

Рассмотрим интересную задачу, которая предлагалась абитуриентам МГУ в 2023 году. В этой задаче есть несколько решений, одно из них просит решающего продемонстрировать незамысловатые знания базовых неравенств, которые проходят в 5 классе, а второе показывает красивую взаимосвязь между алгеброй и геометрией. Положительные числа a,b,c удовлетворяют соотношению Найдите наибольшее возможное значение выражения: Первый способ: Давайте кое-что вспомним, если у нас есть два вещественных числа a,b >0, то что...

Задача: Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно три решения. 2. Следствие: Если x0-корень, то -x0 тоже корень. => Все корни, кроме возможного x = 0, образуют пары. 3. Условие для существования трех корней: Для получения нечетного числа решений необходимо: Подставляем...

Любой советский школьник щелкнет эту задачу за 5 минут за завтракам, американцам требуются целые сутки, чтобы ее решить. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения? Пусть Заметим необычное свойство этой функции. Рассмотрим её в виде дробно-рациональной функции: и составим матрицу коэффициентов: Посчитаем квадрат этой матрицы: Это означает, что матрица A инволютивна: AA = E. Отсюда следует, что функция f(x) также обладает симметрией: Действительно:...

Введение: В нашем мире, где сложные и неопределенные явления нередко сталкиваются с быстрым темпом изменений, важно иметь инструменты, которые позволяют нам прогнозировать будущее. И здесь на помощь приходят дифференциальные уравнения - мощное математическое оружие, которое становится важным помощником для ученых и инженеров в решении различных задач. Дифференциальные уравнения описывают зависимости между функциями и их производными, включая скорость изменения величин во времени или пространстве...

Введение Допустим у нас есть функция f(x) = x²+1 построим график функции. Типичная парабола теперь давайте найдем точки в которых функция равна нулю, то есть ищем корни, на графике в этих точках парабола должна пересекать ось x, как можно заметить на (рис.1) таких точек нет значит если верить этому графику уравнение x²+1=0 не имеет решений Но есть нюанс двести с лишним лет назад ученый по фамилии Гаусс (рис.2), доказал, что любой многочлен f: deg(f)=n (где deg-степень многочлена) имеет ровно n корней...

Число пи и фаталистичность жизни Пи – это математическая константа, которая описывает отношение длины окружности к ее диаметру. Она имеет значение приблизительно равное 3,14159, хотя точное значение Пи бесконечно и никогда не повторяется. Пи – одно из самых загадочных и удивительных чисел, и гипотеза о том, что оно является абсолютно нормальным, добавляет к его таинственности. Абсолютно нормальное число означает, что в его записи любая возможная комбинация цифр должна встретиться бесконечное число раз. То есть, в числе Пи должны встретиться все возможные числовые последовательности, включая конечные и бесконечные...

1.Начало В прошлой статье про фракталы,в частности треугольник серпинского,мы затронули афинные преобразования.Давайте разберемся,что же это такое. Афинные преобразования, также известные линейные преобразования, являются важным понятием в математике и компьютерной графике. Они представляют собой способ описания того, как геометрические фигуры могут быть преобразованы путем изменения их положения, размера и ориентации. Афинные преобразование - это преобразование вида: где a, b, c, d, e и f - константы, определяющие преобразование...

Постановка задачи Пусть даны три произвольные точки(A,B,C) на плоскости,зафиксируем на плоскости точку(M),абсолютно не важно будет ли она лежать в плоскости,образованной тремя точками или нет(Рис 1). Рассмотрим обычную игральную кость,представляющую собой кубик на гранях,которого числа 1-6,каждой точки присвоим два значения кубика: точке A - 1,2; точке B - 3,4; точке С - 5,6. Допустим, что в результате первого броска выпало значение 1 или 2 (Стоит уточнить что каждое из событий равновероятно и равно...