Занимательная Математика

В прошлый раз мы обсудили вспомогательные конструкции финансовой математики, а сегодня наконец-то попробуем вывести уравнение Блэка — Шоулза. Мы должны помнить, что мы находимся в исходных предположениях модели, которые мы делали во второй части, пока главное для нас, что система состоит как минимум из одного рискового и безрискового активов. Давайте введем некоторые переменные, пусть: Рынок: t — время в годах; r — доходность безрискового актива, для простоты ОФЗ (облигации федерального займа)....

В прошлый раз мы обсудили важнейшие понятия финансовой математики, такие как деривативы и финансовые рынки. Сегодня мы окунемся в историю, из которой черпали идеи создатели модели. А также введем условия, при которых модель Блэка - Шоулза существует. История Впервые в 1900 году Луи Башелье использовал идею броуновского движения для ценообразования деривативов, его работа не имела большого влияния, так как содержала большие ограничения к модели. В 1960-х годах ряд ученых внесли улучшения в теорию ценообразования опционов...

Модель Блэка — Шоулза — математическая модель для предсказания динамики финансового рынка, на котором торгуются произвольные инвестиционные инструменты. Модель представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа. Эта модель дает нам инструменты для теоретической оценки цены европейских опционов. Согласен, определение довольно сложное, давайте последовательно разберем, при каких предположениях работает модель, что такое инвестиционные инструменты и опционы. В этой части мы познакомимся с вспомогательными понятиями финансовой математики...

Когда вы толкаете шкаф по полу или катаетесь на велосипеде — вы сталкиваетесь с трением. Это не просто “что-то мешает двигаться”, это целое физическое явление, без которого мы бы… скользили по полу, как на льду, и не смогли бы даже ходить! Трение двух твердых тел - достаточно сложное физическое явление, которое сопровождается нагреванием, электризацией, разрушением поверхностей, диффузией вещества и т.д. Трение — это сила, которая возникает при соприкосновении двух тел и препятствует их движению относительно друг друга...

Представьте: вы дёрнули струну на гитаре. Она изогнулась и тут же начала вибрировать, создавая звук. А теперь задумайтесь — можно ли заранее узнать, как именно она будет колебаться? Да! Для этого существует волновое уравнение — математический модель, по которой можно предсказать движение струны в любой момент времени. Когда вы оттягиваете струну, она деформируется. Если её отпустить, она начинает колебаться — туда-сюда, быстро, с определённой частотой. Эти колебания передаются воздуху — и вы слышите звук...

Рассмотрим интересную задачу, которая предлагалась абитуриентам МГУ в 2023 году. В этой задаче есть несколько решений, одно из них просит решающего продемонстрировать незамысловатые знания базовых неравенств, которые проходят в 5 классе, а второе показывает красивую взаимосвязь между алгеброй и геометрией. Положительные числа a,b,c удовлетворяют соотношению Найдите наибольшее возможное значение выражения: Первый способ: Давайте кое-что вспомним, если у нас есть два вещественных числа a,b >0, то что...

Задача: Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет ровно три решения. 2. Следствие: Если x0-корень, то -x0 тоже корень. => Все корни, кроме возможного x = 0, образуют пары. 3. Условие для существования трех корней: Для получения нечетного числа решений необходимо: Подставляем...

Любой советский школьник щелкнет эту задачу за 5 минут за завтракам, американцам требуются целые сутки, чтобы ее решить. При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три решения? Пусть Заметим необычное свойство этой функции. Рассмотрим её в виде дробно-рациональной функции: и составим матрицу коэффициентов: Посчитаем квадрат этой матрицы: Это означает, что матрица A инволютивна: AA = E. Отсюда следует, что функция f(x) также обладает симметрией: Действительно:...

Введение: В нашем мире, где сложные и неопределенные явления нередко сталкиваются с быстрым темпом изменений, важно иметь инструменты, которые позволяют нам прогнозировать будущее. И здесь на помощь приходят дифференциальные уравнения - мощное математическое оружие, которое становится важным помощником для ученых и инженеров в решении различных задач. Дифференциальные уравнения описывают зависимости между функциями и их производными, включая скорость изменения величин во времени или пространстве...

Введение Допустим у нас есть функция f(x) = x²+1 построим график функции. Типичная парабола теперь давайте найдем точки в которых функция равна нулю, то есть ищем корни, на графике в этих точках парабола должна пересекать ось x, как можно заметить на (рис.1) таких точек нет значит если верить этому графику уравнение x²+1=0 не имеет решений Но есть нюанс двести с лишним лет назад ученый по фамилии Гаусс (рис.2), доказал, что любой многочлен f: deg(f)=n (где deg-степень многочлена) имеет ровно n корней...

Число пи и фаталистичность жизни Пи – это математическая константа, которая описывает отношение длины окружности к ее диаметру. Она имеет значение приблизительно равное 3,14159, хотя точное значение Пи бесконечно и никогда не повторяется. Пи – одно из самых загадочных и удивительных чисел, и гипотеза о том, что оно является абсолютно нормальным, добавляет к его таинственности. Абсолютно нормальное число означает, что в его записи любая возможная комбинация цифр должна встретиться бесконечное число раз. То есть, в числе Пи должны встретиться все возможные числовые последовательности, включая конечные и бесконечные...

1.Начало В прошлой статье про фракталы,в частности треугольник серпинского,мы затронули афинные преобразования.Давайте разберемся,что же это такое. Афинные преобразования, также известные линейные преобразования, являются важным понятием в математике и компьютерной графике. Они представляют собой способ описания того, как геометрические фигуры могут быть преобразованы путем изменения их положения, размера и ориентации. Афинные преобразование - это преобразование вида: где a, b, c, d, e и f - константы, определяющие преобразование...