Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одном из прошлых материалов, посвященных философским вопросам доказательств в математике, я приводил в качестве примера одну из теорем элементарной геометрии - теорему Морли о трисектрисах. Сегодня я хочу Вам показать, каким образом она доказывается, в целом, методами, изучаемыми в средней школе. Итак, поехали!
Что такое трисектриса?
Многие из Вас, конечно же, знают про одну из великих математических задач древности - задачу о трисекции угла с помощью циркуля и линейки. Я когда-то рассказывал о неё и очень простыми средствами показал, что такая задача не разрешима для произвольного угла, т.к. сводится к алгебраическому уравнению, корни которого не представимы в квадратных радикалах.
В общем случае с использованием других инструментов (например, невсиса) трисекцию провести можно.
Итак, примем за истину, что в любом треугольнике каждый из углов можно разделить на три части, а линии, которые производят это разбиение называются трисектрисами.
Теорема Морли
Весь сок теоремы Морли в том, что трисектрисы при пересечении ВСЕГДА образуют правильный треугольник!
Т.е. треугольник XYZ при любом исходном треугольнике является равносторонним! Попробуем это элементарно доказать.
В первую очередь, на рисунке выше мы видим достроенные на одной из сторон три точки E, D и F. Наша задача - разобраться, как его углы можно выделить через углы, образованные трисектрисами. На самом деле, всё просто.
Последнее выражение не очень удобно, потому что в нем не участвует угол альфа, но мы можем заметить, что:
Итак, три угла интересующего нас треугольника выражены. Едем дальше. Теперь запишем синусы двух найденных углов:
Теперь перейдем к двух другим треугольникам:
Запишем теорему синусов для этих двух треугольников:
Теперь самое сложное. Нужно выразить высоту треугольника ABC двумя способами:
И это нам ничего не даст, если не использовать очень красивую формулу, вывод которой я так же показывал на своем канале:
Выглядит выражение следующим образом:
Теперь преобразуем выражения для высоты треугольника:
Это уже знакомые нам множители, которые мы выразили заранее. Подставляем, приравниваем и сокращаем:
Обратите внимание, что мы получили условие пропорциональности сторон треугольников XEF и AZY. Казалось, не хватает еще одного равного угла, чтобы признать треугольники подобными. Но мы его уже нашли!
Подобие нам даст очередные равные углы, с помощью которых мы сможем вывести выражение:
Такую же манипуляцию можно провести и для других углов треугольника, доказав, что все они равны 60 градусам, и треугольник является правильным!
Пара слов об авторе теоремы
Фрэнк Морли (9 сентября 1860 – 17 октября 1937) был математиком, известным в основном своим преподаванием и исследованиями в области алгебры и геометрии, а также президентом Американского математического общества. Был очень сильным шахматистом, и даже одни раз обыграл действующего чемпиона мира. Свою замечательную теорему он открыл в 1899 году.
- Спасибо за внимание!