Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Какие тригонометрические формулы всегда на слуху, и в то же время блещут своей красотой? Даже искушенный Читатель в первую очередь назовёт формулу Муавра, которая позволяет нам с легкостью возводить в степень комплексные числа:
Так же можно вспомнить основное тригонометрическое тождество, куда же без него...
Можно, конечно, вспомнить еще и тригонометрические теоремы из геометрии, например, теорему тангенсов или теорему косинусов для четырехугольника, но это всё не то.
Сегодня я покажу истинную и удивительную красоту, с помощью которой очень просто решаются, в т.ч., и серьезные олимпиадные задачи.
Но сначала нам необходимо заметить некую закономерность в знакомых нам со школы формулах. Итак, надеюсь, все помнят формулу синуса двойного угла:
Единственный новый момент заключается, что по мы представим косинус по формулам приведения, как синус.
Продолжаем. Записываем теперь формулу синуса тройного угла:
Во второй строчке избавляемся от квадрата синуса, но неизбежно получаем косинус двойного угла. Между тем, напомню, что мы всё так же пытаемся избавиться от косинусов в итоговой формуле.
Ответ приходит неожиданно: а что, если представить в тригонометрическом виде число -1/2? Сказано - сделано:
Скобки в правой части принимают вид формулы разности косинусов:
После первой итерации преобразований получаем:
Осталось сделать кое-что еще: воспользоваться базовым свойством синуса:
В итоге получаем формулу синуса тройного угла, выраженную только через синусы одиночного аргумента:
И так далее...можно продолжить вычисления для четверного угла, но это будет уже немного объемнее. Тем не менее, результат будет именно такой, как и ожидается:
Тенденция при увеличении кратности углов не изменится. С помощью метода математической индукции, можно вывести итоговую формулу, в красоте которой просто грех сомневаться:
Надеюсь, что Вас, как и меня искренне восхитила эта формула. В следующих выпусках я покажу, как с её помощью решаются достаточно сложные олимпиадные задачи. Спасибо за внимание!