Ещё раз о многообразии ставок
В прошлой статье мы рассмотрели бескупонные облигации и различные виды доходности — простую, номинальную и эффективную. Как оказалось, при одном и том же соотношении цена/номинал можно получить целый массив ставок, если изменять периодичность начисления процентов.
Численный пример 1. Годовая бескупонная облигация номиналом 1000 руб торгуется за 800 рублей. Найти доходность к погашению при а) годовом, б) полугодовом, в) ежемесячном и г) непрерывном начислении процентов. Какова эффективная доходность?
Используем функцию Excel СТАВКА(кпер; плт; пс; [бс]; [тип]; [прогноз]), чтобы получить APR для а) — в).
а) 1∙СТАВКА(1; 0; —800; 1000) = 25%
б) 2∙СТАВКА(2; 0; —800; 1000) = 23.61%
в) 12∙СТАВКА(12; 0; —800; 1000) = 22.52%
г) в случае непрерывного начисления найдем APR из соотношения F = P∙exp(APR∙1),
APR = ln(F/P) = ln(1000/800) = 22.31%
Эффективная доходность в нашем примере равна APR с годовым начислением процентов, т.е. 25%
Для торгующихся на рынке облигаций наблюдаются цены, а не процентные ставки. Все доходности вычисляются из реальных котировок в биржевом стакане.
Однако проводить анализ облигаций на основе цен не очень удобно из-за большого количества бумаг с разными сроками погашения, поэтому с этой целью зачастую используется единый инструмент — эффективная доходность к погашению. Допустим, что цена годовой бескупонной облигации с номиналом F равна P и все инвесторы с этим согласны. При допущениях, перечисленных в прошлой статье, это значит, что они потребуют от облигаций любой срочности одну и ту же эффективную доходность:
r = F/P — 1.
Зависимость процентной ставки r от срока до погашения T называется кривой доходности. В нашем случае r(T) = r — постоянная величина, а соответствующая кривая называется плоской.
Эффективная доходность r уже “аккумулирует” принятую на рынке периодичность начисления процентов. Любая ставка iₖ (k — количество периодов в году) может быть получена из r при помощи формул предыдущей статьи. Например, 6-ти месячная ставка i₂ должна быть равна √(1+r) Если полугодовая облигация будет торговаться с другой доходностью, то возможен арбитраж. Для этого следует купить “недооцененную” бумагу (продать “переоцененную”) и одновременно занять противоположную позицию в годовой облигации, что обеспечит получение прибыли без риска и при нулевых затратах.
Кратко о дисконтировании
Эффективная или периодическая ставки могут быть использованы для дисконтирования денежного потока. Гарантированная выплата Cₖ, которая поступит в будущий момент времени tₖ, аналогична бескупонной облигации. Поэтому, сумма, которую инвесторы готовы за нее заплатить, — или приведенная стоимость PV(Cₖ), — должна быть равна цене такой облигации: PV(Cₖ) = Cₖ/(1+r)ᵗₖ Приведенная стоимость позволяет сравнивать различные по времени поступления платежи.
Численный пример 2. Что оценивается дороже — а) получение 1000 руб через полтора года или б) 1300 руб через три с половиной года, если эффективная процентная ставка равна 15% годовых? Для сравнения рассчитаем приведенные стоимости этих денежных потоков:
а) PV₁ = 1000/(1+15%)¹∙⁵ ≈ 811 руб
б) PV₂ = 1300/(1+15%)³∙⁵ ≈ 797 руб
PV₁ > PV₂, следовательно “ценность” платежа в а) выше, несмотря на то, что он меньше по абсолютной величине.
Приведенные стоимости можно не только сравнивать, но и суммировать. Приведенная стоимость всего денежного потока складывается из приведенных стоимостей составляющих его платежей:
Концепция дисконтирования также удобна тем, что позволяет сначала рассчитать приведенную стоимость в некоторый промежуточный момент времени tₖ, а затем дисконтировать ее к настоящему моменту tₒ как обычную бескупонную облигацию.
Оценка регулярных платежей
Денежный поток, в котором платежи осуществляются через равные промежутки времени, называется финансовой рентой. В этом случае принято использовать периодические ставки, а моменты времени указывать как tₖ = k. Наиболее известные виды рент:
- Постоянная рента или аннуитет (simple annuity), когда все платежи в денежном потоке одинаковы по величине. При неограниченном количестве платежей говорят о вечной ренте или перпетуитете (perpetuity)
- Рента с постоянным относительным приращением (geometric annuity), когда каждый последующий платеж больше предыдущего в (1+g) раз, где g — темп роста.
- Рента с постоянным абсолютным приращением (arithmetic annuity), когда каждый последующий платеж больше предыдущего на некоторое число a
Во всех рассмотренных случаях мы считаем, что первый платеж происходит в конце первого периода, т.е. момент времени t₁ = 1.
Проще всего подсчитать приведенную стоимость перпетуитета — здесь поможет интуитивный подход. Допустим, что банк бессрочно выплачивает по вкладу периодическую ставку i. Если внести сумму X, забирать проценты в конце каждого периода, а вклад возобновлять, мы получим бесконечный денежный поток с регулярной выплатой С = i∙X. Но это и есть вечная рента, а значит, ее приведенная стоимость должна равняться начальной сумме X. Поэтому:
PV(∞) = C/i, где C — размер платежа, а i — периодическая ставка.
Для более строгого вывода можно воспользоваться одним из свойств приведенной стоимости. Мы хотим вычислить стоимость перпетуитета PV₀(∞) в настоящий момент времени tₒ = 0. Спустя один период, т.е. в момент t₁ = 1 мы получим выплату C, а новая стоимость ренты станет равна PV₁ (∞). Свойства перпетуитета при этом не изменятся, т.к. всё равно остается бесконечное число платежей. Это означает, что равны абсолютные (не дисконтированные) значения PV₀(∞) и PV₁(∞); мы обозначим их как PV(∞). С другой стороны, для получения PV₀(∞) необходимо диcконтировать денежный поток [C + PV₁ (∞)] Следовательно (PV(∞)+C)/(1+i) = PV(∞), откуда найдем PV(∞)= C/i
Примерами вечной ренты могут служить “бессрочные” банковские облигации или привилегированные акции, — конечно, с определенными оговорками.
Найденная формула позволяет вычислить приведенную стоимость простого аннуитета, если представить его как “разность” двух вечных рент. Если “вычесть” из бесконечного денежного потока с первым платежом в момент времени t = 1 другой перпетуитет, начинающийся при t = N+1, мы получим простой аннуитет с выплатами, продолжаюшимися с t = 1 по t = N
Его приведенная стоимость:
PV₀(N) = PV₀(∞) — PVɴ(∞) = C/i — (C/i)/(1+i)ᴺ = (C/i)∙[1 — 1/(1+i)ᴺ] = C∙AF,
где AF = [1 — 1/(1+i)ᴺ]/i — так называемый фактор текущей стоимости аннуитета (annuity factor)
Наиболее известный пример аннуитета — ипотечные платежи. Банк выдает клиенту кредит на приобретение недвижимости, а взамен получает ежемесячные выплаты одинакового размера. Платеж легко рассчитать, используя выведенную нами формулу: C = PV/AF, где PV — это сумма кредита, а периодическая процентная ставка для расчета фактора текущей стоимости аннуитета i = APR/12. На практике удобнее использовать Excel. Приведенная стоимость аннуитета определяется функцией ПС(ставка; кпер; плт; [бс]; [тип]), а периодический платеж — ПЛТ(ставка; кпер; пс; [бс]; [тип])
Численный пример 3. а) Найти постоянный ежемесячный платеж по ипотечному кредиту, если сумма кредита 10 млн руб, годовая ставка 7%, а срок составляет 25 лет. б) Заемщик спустя 5 лет решил погасить ипотеку досрочно. Какую сумму он должен внести в банк?
а) Используем формулу Excel ПЛТ:
С = ПЛТ(7%/12; 25∙12; —10000000; 0; 0) = 70678 руб.
б) Оставшийся баланс можно рассчитать с помощью функции ПС:
PV = ПС(7%/12; 20∙12; —70678; 0; 0) = 9116215 руб.
Приведенную стоимость бесконечной ренты с постоянным темпом роста можно найти тем же способом, какой использовался для перпетуитета. Достаточно заметить, что если вынести множитель (1+g) за скобки, то, начиная со второго периода мы получим такую же ренту, но умноженную на (1+g). Поэтому, для приведенной стоимости PVGA(∞) справедливо уравнение:
[(1+g)∙PVGA(∞)+C]/(1+i) = PVGA(∞)
откуда легко найти PVGA(∞) = С/(i — g). Понятно, что этот результат имеет смысл, когда i > g, т.е если темп роста денежного потока не опережает дисконтирование.
Подход геометрической ренты используется в модели Гордона для дисконтирования будущего дивидендного потока по акции, чтобы определить ее “справедливую” цену.
Мы не будем рассчитывать приведенные стоимости для всех оставшихся видов рент, а просто сведем результаты воедино:
