Дугинов Л.А. L.duginov@ mail,ru
Ключевые слова
Матричное исчисление, новый метод линеаризации системы нелинейных уравнений, метод узловых потенциалов, пример расчёта.
Введение
Применение матричного исчисления в сочетании с использованием нового метода линеаризации системы нелинейных уравнений при решении гидравлических схем позволяет не только значительно сократить объём программы, но и сделать её универсальной, способной решать как "плоские", так и "объёмные" схемы замещения.
Краткое описание нового метода линеаризации системы нелинейных уравнений при решении гидравлических схем
Так как подробное описание нового метода линеаризации системы нелинейных уравнений было многократно описано в моих статьях, помещённых в Дзен-студии, то здесь я напомню только основные математические моменты, приведшие к выводу итерационной формулы.
Как известно, для случая трения среды в канале при ламинарном режиме течения, когда ( Re<2300) падение напора dH на отдельном гидравлическом сопротивлении подчиняется линейному закону:
dH=Ao*q (1)
Для случая трения среды в канале при турбулентном режиме течения среды ( Re>2300) падение напора dH на отдельном гидравлическом сопротивлении принято считать, что подчиняется квадратичному закону, при условии коррекции значения коэффициента трения от числа Re, например по формуле Блазиуса (Ktr= 0,3164/ Re^0,25) :
dH=Ao*q^2 (2)
Для расчёта трения среды в канале при турбулентном режиме (Re>2300) падение напора dH на отдельном гидравлическом сопротивлении можно считать по формуле:
dH=Ao*q^nst (3)
где: nst=2-0,25=1,75 ( Пример для формулы Блазиуса)
Вывести формулу расчёта линейного сопротивления АL в качестве итерационной формулы можно, если составить систему из 2-х логически связанных уравнений, которые объединяют постановку задачи и способ её решения:
Вывод итерационной формулы
( в общем виде для n>2)
Эта формула для расчёта линейного сопротивления AL, которое предлагается использовать в качестве итерационной формулы, выводится аналогично формуле (5) из системы уравнений (4), в которой квадратичное уравнение (1) записывается в более общем виде (степень 2 заменяется на степень n).
Как показала долговременная практика ( с 1972 года) использования этой итерационной формулы в виде формул (5) или (7) создаёт мощный и надёжный итерационный метод решения системы нелинейных уравнений, описывающих сложные гидравлические цепи. Простой алгоритм расчёта, основанный на формулах (5) и (7), а также практическая независимость конечного результата расчёта от величины задания (для 1-ой итерации) начального расхода среды, позволяет на всех ветвях схемы задать одинаковый начальный расход q=1 ( м^3/c).
Далее по формуле:
AL=Ao*q^n-1 ------------- (8)
рассчитываем значения линейных сопротивлений AL для всех ветвей гидравлической схемы замещения. В итоге мы получаем систему линейных уравнений только для 1-й итерации. Для 2-й и затем последующих итераций в общем случае необходимо величины всех линейных сопротивлений AL пересчитывать по формуле (7). Только эта формула обеспечивает полную гармонию взаимопонимания физики и математики! Попытки многих авторов построить итерационный процесс расчёта на базе только на формуле (8) не только значительно усложняют программу расчёта (приходится вводить усреднение между соседними итерациями, иначе программа зацикливается), но и значительно ограничивает сферу применения этого метода ( в частности ограничивает значения начальных расходов q и величину степени n<5-10). Методика расчёта, основанная на итерационной формуле(7) свободна от всех ограничений, неизбежных для других методов и методик.
Матричные уравнения метода узловых потенциалов
Решение системы нелинейных уравнений (для гидравлических цепей) путём расчёта итерационным способом ряда систем линейных уравнений методом узловых потенциалов удобно выполнять в "матричном" виде. Это значительно сокращает объём программы вычислений и позволяет рассчитывать не только простые "плоские" схемы, в которых каждое сопротивление может входить в состав не более 2-х контуров, но и "объёмные", где это ограничение снимается.
Ниже приводится пример расчёта такой "объёмной" схемы, выполненной по программе Machcad и с подробной распечаткой текста.
Распечатка в матричном виде операторов, проводящих подготовку исходных данных для итерационного расчёта схемы замещения трубопровода.
Итерационный расчёт схемы замещения трубопровода, показанного выше на рисунке.
Перечень,определение и назначение 10-ти матриц, используемых в итерационном расчёте.
- DRpL---Диагональная матрица проводимостей ветвей RRpL
- FkL---Матрица распределения проводимостей по ветвям схемы
- URpL---Матрица распределения проводимостей по узлам схемы
- JcL--- Матрица определения узловых токов
- Fo---Матрица расчёта узловых потенциалов схемы
- dHw---Матрица расчёта падения напоров между узлами схемы
- DHR---Матрица расчёта падения напоров на всех ветвях схемы
- Iwr---Матрица расчёта токов в ветвях схемы
- RRL---Матрица расчёта линейных сопротивлений в ветвях схемы
- RRpL---Матрица перевода линейных сопротивлений в проводимости ветвей схемы
Выводы
- Методика расчёта сложных гидравлических схем по итерационным формулам (5) и (7) позволяет переводить систему нелинейных уравнений n-ой степени в линейную систему, которая обеспечивает стабильно быстрый процесс расчёта и правильные результаты.
- Данная методика гидравлического расчёта основанная на простых физических принципах с простым математическим аппаратом, решает все задачи, которые ранее были доступны только очень дорогим отечественным и зарубежным программам. Рекомендуется для практического использования всем кто занимается изучением и освоением гидравлических расчётов.
Литература
1 . Ионкин П.В. Зевеке Г.В. и другие Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. М., "Энергия", 1975.
2. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
3. Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
4. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Москва, «Машиностроение» 1992.
