Якоб Штейнер — геометр 19 века. Точка Штейнера, как он ее изобрел, это характерная точка выпуклого многоугольника или многогранника в n-мерном Евклидовом пространстве. В Википедии дана слишком узкая трактовка. Откуда я знаю? Я читал оригинальные труды Я. Штейнера.
История того, как я ее заново изобрел, очень характерна для научного творчества. В то же время из всех моих математических изобретений это наиболее насыщено эмоционально. Я предлагаю воспринимать всякие математические термины и понятия (а рассказ без них невозможен) просто как научный антураж, служащий фоном для описания... того, что я хочу передать. В отличие от большинства журналистов, я несу полную ответственность за правильность и точность этого антуража.
Мне надо было найти способ, как ограниченному замкнутому выпуклому множеству в n-мерном пространстве поставить в соответствие точку этого же множества, причем так, чтобы это соответствие удовлетворяло условию Липшица, если для множеств взять метрику Хаусдорфа. Я попробовал всякие известные мне точки: центр масс один, центр масс другой, барицентр, еще что-то... — условие Липшица не получалось, даже непрерывность могла нарушаться.
Постепенно стало понятно, что это должно быть среднее (то есть интеграл) по чему-то неизменному, не зависящему от множества. Так будет легче получить условие Липшица, оценивая разность подынтегральных функций. Естественно, пришла в голову единичная сфера. Хорошо, а что будем интегрировать? Надо взять значение опорной функции и умножить ее на единичный вектор, служащий аргументом этой опорной функции. Все, грамотному математику уже и формула ясна.
Выбранная конструкция такова, что условие Липшица получается с лёту.
Теперь, с какой стати полученная точка принадлежит самому множеству?
Это правда: классический анекдот
Пришло время принять ванну. Обычно я моюсь не плавая в воде, но тут я наполнил ванну теплой водой и погрузился в размышления (и в воду, конечно!). Да, если с этой стороны больше, то с противоположной будет меньше, но так как там знак наоборот, то значит тоже больше, и они друг друга уравновесят. А если еще и подпихнуть с этой стороны рукой... Все понятно? Мне тоже... Но как-то так появилась вера, что все получится хорошо.
Надо проверить на простых примерах на плоскости. Бумаги и ручки нет, так что примеры надо попроще, чтобы считать интегралы в уме. Точка, отрезок, квадрат, затем прямоугольник, круг с центром в нуле, смещенный круг, равнобедренный прямоугольный треугольник. Больше никогда в жизни я не проделывал столь напряженной вычислительной работы в уме!
На каком-то более сложном примере я почувствовал, что запутываюсь в вычислениях, а вода холодная...
Хорошо, теперь надо искать доказательство. Оно мне долго не давалось. Я просто не мог найти, с какой стороны к нему подходить.
Вовремя заданный вопрос
У нас были друзья. Тоже семейная пара с ребенком. Он был математик на порядок крупнее, чем я. Занимались мы разными вещами, но иногда устраивали такой трёп на свободные темы.
И вот, мы были у них в гостях. Что-то ели, что-то пили... Потом "джентльмены собрались за бокалом портвейна в курительной, а дамы..." (чёрт, забыл, что там в это время делали дамы. Наши, наверное, по-быстрому посуду перемыли под обычный женский разговор).
И вот, я поделился: изобрел вот такую крутую штуку, а доказать не могу. И мне, после некоторых раздумий, был задан вопрос:
– А эта точка инвариантна относительно линейных преобразований?
Я захлопнул рот и ушел домой. Через сутки доказательство было получено полностью и даже записано.
Вот что значит опыт и общий взгляд на вещи! Ему не нужно было знать мое доказательство, это моя проблема. Но он знал, что решение многих геометрических задач начинается с такого вопроса. Я, задним числом, тоже это знаю :-)
Взгляд на геометрию как теорию инвариантов той или иной группы преобразований мне был известен, но он не был в моем "активном словарном запасе". А так как выпуклость инвариантна относительно линейных преобразований, то такой вопрос задать было естественно.
На сцену выходит Якоб Штейнер
Я даже быстренько опубликовал полученное доказательство. И стал рассказывать на конференциях. Не как самостоятельный результат, а как инструмент для решения некоей задачи.
И вдруг один из слушателей: «Так это же точка Штейнера...» Я, разумеется, потом подошел и спросил, где это можно почитать.
– Ну, я точно не помню, но искать надо там...
Уж как я нашел ссылку на первую статью, я не помню. Потом библиография в прочитанных статьях... 2 статьи я выписал по межбиблиотечному абонементу (напомню, это статьи в немецких научных журналах 19 века). В виде роликов негативной пленки. Дальше понял, что так получается очень медленно, Поехал в Москву и просидел в Ленинке дня два, время от времени заглядывая в авторский каталог. (Не в предметный, ибо Штейнер не знал, что его изобретение носит его фамилию.)
И стал я изучать немецкий язык. Когда понял слова Satz, Beweis, дальше все стало значительно проще. Язык формул универсален.
Якоб Штейнер, один из последних синтетических геометров в истории науки, нашел и опубликовал множество красивейших свойств его точки. Например, что точка Штейнера многогранника является выпуклой комбинацией точек Штейнера его граней. Среди его находок было и несколько формул для вычисления точек Штейнера в координатах, одна из которых была похожа на мою.
Он изучал только многогранники, выпуклых множеств вообще он не касался. А то, что его конструкция обладает нужным мне свойством, он и не мог знать: Феликс Хаусдорф еще не родился.
Итак, точка Штейнера не мое изобретение. Но использовать ее так, как использовал я — это я придумал. А уж буря эмоций, завершившаяся совершенной радостью, которая сопровождала процесс изобретения, в моей жизни не имеет себе равных. Я считаю это изобретение самым увлекательным из всех моих.
И вот, я думаю, а если бы моя эрудиция распространялась бы на точку Штейнера, получилось бы у меня ее использовать? Может быть, она была бы среди исследованных характерных точек. Но та формула, которая делает условие Липшица очевидным, лишь одна из многих. Так что вполне возможно, что точка Штейнера осталась бы для меня просто забавной геометрической игрушкой.