«Вот интересно: задумывался ли Ф.И. Тютчев, изрекая мысль о том, что „мысль изречённая есть ложь“, об этой своей изречённой мысли?»
Мысль изречённая. Михаил Юн
Весьма нередко доводилось слышать следующие пожелания:
1. Законодательство должно быть устроено таким образом, чтобы из него разрешались любые случаи. Нет, при этом только самые глупые считают, что все эти случаи должны быть прямо предусмотрены в законодательстве. Скажем математика или физика же не устанавливает правил или закономерностей для каждого из своих объектов, весьма часто во всех частных случаях конкретный вывод делается именно индуктивно или дедуктивно.
2. Законодательство не должно содержать противоречий, то есть не должно быть ситуаций, в которых из одного и того же набора данных следует как некоторое заключение, так и прямо противоположное.
Ничего это не поминает? Юристам, скорее всего, нет, это ничего не говорит. А вот математикам, если только они всерьёз занимались учёбой… вот математикам как раз говорит и очень-очень многое.
Дело в том, что в самом начале минувшего века совершенно потрясающий математик Давид Гильберт поставил грандиозную задачу: аксиоматизировать всю математику, а для разрешения такой грандиозной задачи ему оставался такой пустяк как доказать логическую полноту арифметики натуральных чисел. Да-да, тех самых, которые впервые аксиоматизировал Джузеппе Пеано. При этом Давид Гильберт пользовался понятием формальной теории. А надо сказать, что формальная теория считается определенной, если:
1. Задано конечное или счётное множество произвольных символов. Конечные последовательности символов называются выражениями теории.
2. Имеется подмножество выражений, называемых формулами.
3. Выделено подмножество формул, называемых аксиомами.
4. Имеется конечное множество отношений между формулами, эти отношения называются правилами вывода.
Формальная система, содержащая неразрешимую, то есть невыводимую и неопровержимую, формулу, называется неполной.
При всём этом требовалось строить доказательство так называемыми финитными средствами. Сам Давид Гильберт характеризовал финитную систему так: «Основная мысль моей теории доказательства такова: все высказывания, которые составляют вместе математику, превращаются в формулы, так что сама математика превращается в совокупность формул. Эти формулы отличаются от формул математики только тем, что в них, кроме обычных знаков, встречаются также и логические знаки... Некоторые определённые формулы, которые служат фундаментом этого формального построения математики, называются аксиомами. Доказательство есть фигура, которая должна наглядно предстать перед нами; она состоит из выводов, делаемых согласно схеме modus ponens, в которой каждая посылка... каждый раз является либо аксиомой, либо получается из аксиомы путём подстановки, либо совпадает с полученной ранее из доказательства формулой или получается из такой формулы с помощью подстановки. Формулу мы будем называть доказуемой, если она либо является аксиомой, либо конечной формулой некоторого доказательства».
Обратите внимание, что стремление Давида Гильберта сводилось к рассмотрению строго формальных объектов, уходу из семантики в формальную грамматику.
И вот в Кёнигсберге 7 сентября 1930 года проходил научный конгресс по основаниям математики, и на этом конгрессе ранее не заявленный двадцатичетырёхлетний Курт Гёдель впервые обнародовал две фундаментальные теоремы о неполноте, показавшие, что программа Гильберта никак не может быть реализована:
при любом выборе аксиом арифметики существуют теоремы, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть финитными средствами, предусмотренными Давидом Гильбертом, а финитное доказательство непротиворечивости арифметики невозможно в принципе.
Финитная индукция (мы часто называем её математической индукцией) основана как раз на той самой пятой аксиоме Пеано:
∀ℙ (((ℙ ⊂ ℕ) ∧ (1 ∈ ℙ) ∧ (∀n (n ∈ ℙ) ⇒ (n' ∈ ℙ)) ⇒ (ℙ = ℕ))
Вообще говоря, эти две теоремы произвели эффект разорвавшейся бомбы. Однако если доказательство невозможно финитными средствами, то… быть может, есть какие-то иные? Тогда добавили в число логических средств трансфинитную индукцию, то есть некоторое обобщение финитной индукции, которая содержится в пятой аксиоме Пеано, это обобщение получило название трансфинитной индукции. Если финитная индукция задавалась только на счётном множестве (ℕ), то трансфинитная индукция расширяется и на несчётное число параметров. Это именно расширение финитной индукции, поскольку финитная индукция является именно частным случаем индукции трансфинитной.
Вот основание трансфинитной индукции:
Пусть М – частично упорядоченное множество, в котором каждое непустое подмножество содержит минимальный элемент (это множество называется фундированным)..
Пусть Р(х), где x ∈ М, есть некоторое утверждение.
Пусть для любого х ∈ М из того, что Р(у) истинно для всех у < х, следует, что истинно и Р(х), тогда Р(s) верно для любых s:
(1) ∀х ∀y ∀s (((х ∈ М ) ∧ (y ∈ М ) ∧ (s ∈ М )∧ ((y < x) ∧ (ℙ(y))) ⇒ Р(x)) ⇒ Р(s))
Сравните это с пятой аксиомой Пеано:
(2) ∀ℙ (((ℙ ⊂ ℕ) ∧ (1 ∈ ℙ) ∧ (∀n (n ∈ ℙ) ⇒ (n' ∈ ℙ)) ⇒ (ℙ = ℕ))
Несложно понять, что (2) прямо следует из (1), если М = ℕ
И именно использовав уже трансфинитную индукцию, в 1936 году Герхард Генцен сумел доказать с помощью этой аксиомы непротиворечивость арифметики, однако логическая полнота так и осталась недостижимой, а это значит, что в системе существуют некоторые утверждения, которые никак вообще нельзя вывести в ней даже при трансфинитной индукции, а равно нельзя вывести и их отрицания. Эти утверждения, разумеется, можно ввести в аксиомы, но тогда мы опять-таки получим всё ту же формальную систему Давида Гильберта, которую можно с помощью трансфинитной индукции проверить на непротиворечивость, но она снова окажется содержащей некоторые недоказуемые (невыводимые из её аксиом, в том числе и из только что добавленной) утверждения. Это прямо следовало именно из теорем Курта Гёделя.
Вот одна из формулировок теорем Гёделя:
Если формальная система S непротиворечива, то в ней невыводимы обе формулы B и ¬B; иначе говоря, если система S непротиворечива, то она неполна, и B служит примером неразрешимой формулы
Обратим теперь своё внимание, что любая система норм в принципе не просто счётна, а именно конечна. Ясно также, что эта система должна быть непротиворечивой. А это из теорем Курта Гёделя сразу же означает, что в такой системе всегда будут существовать некоторые утверждения, которые нельзя ни вывести из этой системы, ни вывести их отрицания.
Поэтому не стоит удивляться тому, что так или иначе в практике юристов время от времени будут всплывать случаи, которые вообще никак не разрешимы в конкретной системе норм. Иными словами, если вы в непротиворечивой системе норм не видите неразрешимой ситуации, то это значит, что вы смотрите не в то место. Но при этом следует также помнить, что всякая попытка ввести в систему норм правила, которые разрешают выделенный случай, ранее неразрешённый, например, введением каких-либо презумпций, может привести к тому, что система норм станет внутренне противоречивой, то есть будут существовать некоторые выводы, которые равным образом будут приводить к некоторому утверждению и к его отрицанию. А вот такого как раз следует избегать любым способом.
Кстати, стоит также помнить, что множество прав, строго говоря, не является фундированным, так как на этом множестве нельзя задать отношение частичного порядка, а фундированное множество является всегда частично упорядоченным по его определению.
А некоторым теоретикам права стоило бы время от времени заглядывать туда, где люди разрабатывают такие мощные инструменты как математические. И хотя бы понимать результаты их работы, а лучше и получить навыки в овладении ими.