Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
В предыдущей статье я упоминал, что самый простой способ построения правильных многоугольников — это деление на равные части произвольной окружности. Если мы хотим получить квадрат, необходимо разделить окружность на 4 части. Поскольку вся окружность — это полный оборот, который мы принимаем за 360 градусов, то четвертая часть — это 90 градусов.
В той же статье мы научились делить отрезок перпендикуляром пополам. Так и поступим в этот раз. Напоминаю, все построения будем вести с помощью только циркуля и линейки.
Нарисуем произвольную окружность. Выберем на ней любую красную точку в качестве первой вершины квадрата. Через эту точку и центр окружности проведем диаметр. Пересечение диаметра и окружности дает нам вторую вершину квадрата (зеленая точка). Построим прямую, перпендикулярную диаметру, как это описано в уже упомянутой статье. Пересечение этой прямой с окружностью — это еще две вершины квадрата (синие точки). Соединим все вершины. Квадрат построен.
Но это не совсем то, что нужно. Мы построили квадрат с заранее заданной длиной диагонали, которая равна диаметру, а обычно требуется построить квадрат с заранее заданным размером стороны квадрата. Поскольку мы умеем строить перпендикуляры, такая задача нам под силу.
Нарисуем заданную синюю сторону квадрата и продлим этот отрезок. Конец синего отрезка, из которого мы построили луч, примем за центр окружности с радиусом, меньшим, чем длина синего отрезка. Начертим эту окружность. Пересечение серой окружности с исходным отрезком и его продолжением дает нам две зеленые точки.
Принимаем эти зеленые точки за центры двух новых окружностей с одинаковым радиусом, который должен быть больше, чем радиус предыдущей серой окружности. Рисуем две зеленых окружности, они обязательно пересекутся в двух точках. Через одну из точек пересечения строим луч с началом всё в том же конце синего отрезка. Этот луч является перпендикуляром к синему отрезку.
Построим красную окружность с центром в том же конце синего отрезка, что и ранее, и радиусом, равным длине синего отрезка. Эта окружность пересекает перпендикуляр к синему отрезку в точке, которая является третьей вершиной квадрата.
Далее всё просто. Строим две окружности с радиусом, равным длине стороны квадрата, и центрами в вершинах квадрата. Пересечение этих окружностей дает нам четвертую вершину квадрата. Задача решена.
Можно использовать еще один способ построения квадрата с заданной длиной стороны. Для этого необходимо сделать небольшое отступление.
Любой прямоугольный треугольник — это половина прямоугольника со сторонами, равными катетам, а гипотенузой, равной диагонали этого прямоугольника. У прямоугольника точка пересечения диагоналей равноудалена от всех вершин этой фигуры, то есть является центром описанной вокруг прямоугольника окружности.
Отсюда вывод, что центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности располагается на гипотенузе и делит ее пополам. Воспользуемся этим свойством описанной окружности.
Рисуем исходный отрезок. С той стороны отрезка, с которой мы планируем строить квадрат, выбираем произвольную зеленую точку. Строим зеленую окружность с радиусом, равным расстоянию от зеленой точки до любого из двух концов отрезка. Пересечение этой окружности с заданным отрезком будет в двух точках. Первая красная, которая задает радиус окружности, и вторая желтая. Через желтую и зеленую точки строим серую прямую.
Специально оговорюсь. Вы можете выбрать зеленую точку таким образом, что зеленая окружность пересечет исходный синий отрезок только в одной точке, а для получения второй точки вам придется продлевать исходный отрезок в виде луча. В этом случае ничего не меняется, просто желтая точка будет расположена на этом луче.
Пересечение серой прямой и зеленой окружности дает синюю точку. Если мы будем считать, что зеленая окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то гипотенузой такого треугольника является серый отрезок между синей и желтой точками, больший катет — это участок синего отрезка между красной и желтой точками, а меньший катет мы получим, если соединим красную и синюю точки.
Получается, если мы построим серую прямую через красную и синюю точки, то эта прямая будет перпендикулярна исходному синему отрезку. Теперь нарисуем окружность с центром в красной точке и радиусом, равным заданной длине стороны квадрата. Пересечение этой окружности и построенной серой прямой дает нам третью вершину квадрата.
Снова строим две окружности с радиусом, равным длине стороны квадрата, и центрами в вершинах квадрата. Пересечение этих окружностей дает нам четвертую вершину квадрата.
Следует отметить, что в обоих случаях мы не просто построили квадрат с заданной длиной стороны. Если использовать еще и его диагонали, окажется, что нам удалось построить восемь прямых углов, восемь углов размером 45 градусов и четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника.
Снова, как и в предыдущей статье, зададимся вопросом, какой способ построения квадрата предпочтительней? Использование описанной окружности (необходимо знать ее радиус) или через построение прямых углов (необходимо знать длину стороны квадрата).
Ответ тот же. Всё зависит от поставленной задачи. Когда вы строите квадрат через длину его стороны и прямые углы, вы заранее не можете точно позиционировать расположение этой фигуры. А рисование квадрата с помощью описанной окружности позволяет позиционировать вершины квадрата точно по месту.
При этом напомню, что для построения правильного четырёхугольника через описанную окружность необходимо предварительно определить радиус этой окружности. Его размер мы можем получить с помощью простых геометрических построений.
Сначала вы строите квадрат с заданной длиной сторон, затем чертите его диагонали. Диагонали пересекаются в своих средних точках. Половина диагонали — это радиус описанной окружности. Теперь в требуемом месте мы строим окружность такого радиуса, а правильный четырехугольник получаем способом, описанным в самом начале данной статьи.
Конечно, мы можем вычислить размер радиуса без всяких геометрических построений. Примем, что сторона квадрата равна единице, тогда длина его диагонали по теореме Пифагора равна √2. А длина радиуса — половина корня квадратного из числа два: √2/2. Поэтому, если сторона квадрата — это a, то радиус описанной окружности: R = a·√2/2.
Следовательно, если вы увеличите изображение квадрата на экране своего гаджета, а затем обычной линейкой измерите длину диагонали и длину стороны квадрата, то получите, что частное от деления первого на второе равно числу 1,4. А если проделаете всё это на экране большого размера и будете аккуратны, то получите число 1,41.
Вот так с помощью построения правильного четырехугольника мы вычислили величину квадратного корня из числа два с точностью до второго знака после запятой. Напомню, что √2 ≈ 1,41421.
На сегодня всё. О построении пентагона и гексагона поговорим в следующий раз. Удачи вам. Дерзайте.
