Полный перечень всех статей, опубликованных на канале: «Перечень статей на канале».
С этой статьи я начинаю цикл о построении правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки.
Почему выбор пал только на эти два инструмента? Потому что у древних людей под рукой всегда были именно они. Два острых колышка и прочная тонкая веревка — это и циркуль, и линейка.
Хорошо зафиксировав один колышек и двигая второй по кругу при неизменной длине бечевки, связывающей колышки, мы нарисуем на земле окружность. А просто натянув бечевку между двумя колышками, мы получаем отрезок.
Конечно, еще был нужен какой-нибудь эталон длины. Для построения правильного многоугольника без привязки его размеров к другому многоугольнику эталоном длины мог служить любой предмет. Длина пальца мастера, длина его локтя, длина его посоха. А вот если была нужна копия уже существующей где-то фигуры, тогда необходим был эталон, который использовали при построении образца.
Естественно, при построении этих фигур на бумаге мы будем использовать линейку и циркуль. А в качестве эталона на линейке уже нанесены десятые, сотые и тысячные доли метра. А метр, напомню, — это одна из основных единиц измерения длины в Международной системе единиц (СИ).
Напомню:
- Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого равны все стороны и все углы между смежными сторонами.
- Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, равноудален от всех углов и сторон этой фигуры.
- Для каждого правильного многоугольника существует только одна описанная около него окружность.
Получается, если на произвольной окружности отметить точки, равноудаленные друг от друга, а затем соединить их отрезками, мы получим правильный многоугольник. Выберем три точки — будет равносторонний треугольник. Четыре точки — квадрат, пять точек — пентагон, шесть — гексагон и так далее, сколько душа пожелает. Правда, следует помнить, что при увеличении количества точек правильный многоугольник будет постепенно сливаться с исходной окружностью.
Прежде чем мы приступим к построению геометрических фигур, надо научиться делить отрезок пополам и строить перпендикуляр.
Возьмем произвольный зеленый отрезок и построим две окружности одинакового радиуса, центрами для которых являются концы отрезка. Единственное требование к длине радиуса: он должен быть больше, чем половина зеленого отрезка. Чтобы не заморачиваться с его длиной, примем ее больше длины зеленого отрезка. Две красные точки пересечения построенных окружностей соединим с концами отрезка. Серая фигура — это ромб. Почему так?
Четыре синих отрезка равны между собой, поскольку они равны одному и тому же радиусу. Пары синих отрезков с каждой стороны зеленого отрезка образуют два равных равнобедренных треугольника. У этих треугольников углы при основании равны.
Поэтому синие отрезки попарно параллельны, ведь накрест лежащие углы для секущей в виде исходного зеленого отрезка равны как для одной пары отрезков, так и для другой. Все стороны равны и попарно параллельны. Это ромб.
Вспоминаем свойства ромба. Его диагонали пересекаются в точке, которая делит их ровно пополам, и эти диагонали перпендикулярны друг другу.
Так с помощью циркуля и линейки мы можем разделить любой отрезок пополам и построить перпендикуляр к этому отрезку в точке, которая делит отрезок на две равные части.
Равносторонний треугольник.
Это тот случай, когда использование описанной окружности не упрощает построение треугольника, а, наоборот, усложняет его.
Чтобы получить равносторонний треугольник с заданной длиной сторон, рисуем синий отрезок необходимой длины. Строим две окружности с центрами на концах отрезка и радиусом, равным длине этого отрезка. Имеем две точки пересечения построенных окружностей. Любую из этих точек соединяем с концами исходного отрезка. Мы получили равносторонний треугольник со сторонами заданной длины.
Понятно, что окружности можно строить не полностью, а начертить только необходимые нам дуги с той стороны отрезка, в которой мы планируем получить вершину треугольника.
А все-таки, как построить равносторонний треугольник через описанную около него окружность. Пока оставим в стороне вопрос, зачем это нужно, и рассмотрим саму возможность. Естественно, ничего сложного в таком построении нет.
Строим серую окружность. Выбираем на ней точку, которая будет первой вершиной будущего треугольника, рисуем синюю окружность с центром в этой точке и радиусом, равным длине стороны правильного треугольника. Соединяем три красных точки. Треугольник готов. Но тут возникает проблема.
Если нам известна длина сторон треугольника, нам надо вычислить радиус исходной серой окружности. А если нам известен радиус серой окружности, то надо определить длину сторон треугольника. Давайте разберемся, как связаны эти величины между собой, и можем ли мы получить одно значение из другого с помощью геометрических построений циркулем и линейкой.
У равностороннего треугольника биссектрисы, высоты и медианы совпадают. Почему так? Биссектриса делит угол на две части по 30 градусов. Следовательно, два получившихся треугольника имеют углы 30, 60 и 90 градусов. Значит, биссектриса одновременно является высотой. А поскольку треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (как и по одной стороне и двум углам), то биссектриса одновременно и медиана. Это справедливо для всех трех вершин. Причем все эти биссектрисы, медианы и высоты равны между собой.
Точка пересечения медиан делит их в пропорции 2 : 1. Получается, все вершины равноудалены от точки пересечения медиан. Следовательно, радиус описанной окружности равен двум третьим длины высоты.
Высота определяется через теорему Пифагора. А радиус вычисляем как две третьих от этого значения. В результате радиус описанной около правильного треугольника окружности равен длине стороны, деленной на корень квадратный из числа три. Если мы знаем значение √3, то легко определим длину сторон треугольника по радиусу описанной окружности и, наоборот, по длине сторон находим радиус.
Можно обойтись и без вычислений. Рассмотрим два случая: когда известна длина сторон треугольника и когда известен радиус описанной окружности.
Первый случай. Рисуем правильный треугольник самым простым способом, мы его выше разбирали. Строим перпендикуляры к серединам двух сторон. Синяя точка пересечения перпендикуляров — это центр описанной окружности, а расстояние от синей точки до любой вершины — это радиус этой окружности.
Зная этот радиус, мы можем построить окружность в произвольном месте, выбрать на окружности местоположение одной из вершин и построить треугольник, как мы тоже уже разбирали.
Второй случай. Рисуем окружность заданного радиуса. Выбираем на окружности одну из вершин треугольника (красная точка). Через выбранную точку и центр окружности строим диаметр. На этом диаметре необходимо отложить высоту будущего равностороннего треугольника. Высота, как мы помним, равна трем половинкам радиуса описанной окружности. Две половинки — это сам радиус от красной точки до центра окружности. А еще одну половинку радиуса получим, разделив пополам отрезок, ограниченный зелеными точками, перпендикулярной прямой. Пересечение этой прямой и исходной окружности дает нам две других вершины треугольника.
Вернемся к вопросу, зачем строить правильный треугольник через описанную около него окружность. Представьте, что вы древний архитектор и вам надо разбить равностороннюю треугольную площадь с фонтаном в ее центре. В зависимости от существующей застройки и рельефа местности вы либо сначала строите правильный треугольник, а потом находите его центр, либо создаете окружность, а затем получаете сориентированный по вашему желанию равносторонний треугольник.
Отмечу, что мы не только научились чертить равносторонний треугольник, мы еще научились строить углы в 30, 60 и 120 градусов с помощью циркуля и линейки.
И последнее замечание. Если вы на экране своего гаджета максимально увеличите картинку, на которой изображено пересечение биссектрис, высот и медиан, и аккуратно измерите линейкой длину стороны треугольника и расстояние от вершины до центра пересечения биссектрис (высот, медиан), а затем разделите первую величину на вторую, вы получите значение √3, может быть, даже до второго знака после запятой 1,73. Напомню, что √3 ≈ 1,73205. Вот так с помощью геометрических построений мы получили значение корня квадратного из числа три.
На сегодня всё. В следующий раз приступим к построению квадрата и других правильных многоугольников. Удачи вам. Дерзайте.
