В материалах
представлен вариант построения бинарного нечёткого отношения в виде трёхмерной поверхности, а также показано, как в Excel определить унарные и бинарные операции над для бинарными нечёткими отношениями.
В текущем материале покажем, как в Excel реализовать такую операцию над бинарными нечёткими отношениями, как композиция (она же суперпозиция бинарных нечётких отношений).
Рассмотрим следующий пример.
Пусть множество Х описывает множество жанров литературы, Y описывает множество характеристик, Z описывает множество литературных произведений:
Элементы множества X: x1- «сказки», х2 – «детективы», х3 – «повести и рассказы», х4 – «стихи», х5 – «басни»;
Элементы множества Y: у1 – «Художественный стиль», у2 – «Рифма», у3 – «Главный герой», у4 – «Загадка», у5 – «Сюжет», у6 – «Приключения», у7 – «Волшебство», у8 – «Фантастические существа», у9 – «Стопы», у10 – «Мораль», у11 – «Вымысел», у12 – «Детектив», у13 – «Описание»;
Элементы множества Z: z1 – «Слон и Моська, И. А. Крылов», z2 – «Мцыри, М.Ю. Лермонтов», z3 – «Шерлок Холмс, Артур Конан Дойл», z4 – «Код да Винчи, Дэн Браун», z5 – «Красная Шапочка, Шарль Перо», z6 – «Призрак Оперы, Гастон Леру», z7 – «Отцы и дети, И.С. Тургенев».
Зададим бинарные нечёткие отношения R и S, причём отношение R должно быть задано на декартовом произведении X × Y, а нечёткое отношение S - на декартовом произведении Y × Z, матрицей:
Запишем описательные свойства обоих отношений: бинарное нечёткое отношение R характеризует отношение литературного произведения к тому или иному жанру, бинарное нечёткое отношение S – характеристики, присущие указанным произведениям.
Приведём пошаговый расчёт композиции (суперпозиции) бинарных нечётких отношений R и S, используя max-min-композицию и max-prod-композицию.
Для начала разберём max-min-композицию (она же максиминная композиция):
Шаг 1. Открыть в Microsoft Excel лист под названием «Максиминная композиция». Заполнить ячейки A1÷М5 данными, соответствующими элементам матрицы бинарного нечёткого отношения R:
Шаг 2. Заполнить ячейки A7÷G19 данными, соответствующими элементам матрицы бинарного нечёткого отношения S:
Шаг 3. Ячейке О1 присвоить значение «=макс(мин($A$1;A7);мин($B$1;A8);мин($C$1;A9);мин($D$1;A10); мин ($E$1;A11); мин ($F$1;A12); мин ($G$1;A13); мин ($H$1;A14); мин ($I$1;A15); мин ($J$1;A16); мин ($K$1;A17); мин ($L$1;A18); мин ($M$1;A19))» и нажать "Enter":
Шаг 4. Выделить ячейку О1, навести курсор на правый нижний угол ячейки О1 до появления плюсика, нажать правую кнопку мыши (ПКМ) и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U1:
Шаг 5. Присвоить ячейке О2 значение «=макс(мин($A$2;A7); мин ($B$2;A8); мин ($C$2;A9); мин ($D$2;A10); мин ($E$2;A11); мин ($F$2;A12); мин ($G$2;A13); мин ($H$2;A14); мин ($I$2;A15); мин ($J$2;A16); мин ($K$2;A17); мин ($L$2;A18); мин ($M$2;A19))» и нажать "Enter":
Шаг 6. Выделить ячейку О2, навести курсор на правый нижний угол ячейки О2 до появления плюсика, нажать ПКМ и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U2:
Шаг 7. Присвоить ячейке О3 значение «=макс(мин($A$3;A7); мин ($B$3;A8); мин ($C$3;A9); мин ($D$3;A10); мин ($E$3;A11); мин ($F$3;A12); мин ($G$3;A13); мин ($H$3;A14); мин ($I$3;A15); мин ($J$3;A16); мин ($K$3;A17); мин ($L$3;A18); мин ($M$3;A19))» и нажать "Enter":
Шаг 8. Выделить ячейку О3, навести курсор на правый нижний угол ячейки О3 до появления плюсика, нажать ПКМ и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U3:
Шаг 9. Присвоить ячейке О4 значение «=макс(мин($A$4;A7); мин ($B$4;A8); мин ($C$4;A9); мин ($D$4;A10); мин ($E$4;A11); мин ($F$4;A12); мин ($G$4;A13); мин ($H$4;A14); мин ($I$4;A15); мин ($J$4;A16); мин ($K$4;A17); мин ($L$4;A18); мин ($M$4;A19))» и нажать "Enter":
Шаг 10. Выделить ячейку О4, навести курсор на правый нижний угол ячейки О4 до появления плюсика, нажать ПКМ и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U4:
Шаг 11. Присвоить ячейке О5 значение «=макс(мин($A$5;A7); мин ($B$5;A8); мин ($C$5;A9); мин ($D$5;A10); мин ($E$5;A11); мин ($F$5;A12); мин ($G$5;A13); мин ($H$5;A14); мин ($I$5;A15); мин ($J$5;A16); мин ($K$5;A17); мин ($L$5;A18); мин ($M$5;A19))» и нажать "Enter":
Шаг 12. Выделить ячейку О5, навести курсор на правый нижний угол ячейки О5 до появления плюсика, нажать ПКМ и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U5:
Таким образом, получившаяся таблица соответствует бинарному нечёткому отношению, являющемуся максиминной композицией (суперпозицией) заданных бинарных нечётких отношении R и S.
Далее приведём сокращённый вариант расчёта max-prod-композиции:
Шаги 1 и 2 повторяются, как при max-min-композиции (она же максиминная композиция), при этом на Шаге 1 необходимо создать в Microsoft Excel лист под названием «Max-prod-композиция».
Шаг 3. Ячейке О1 присвоить значение «=макс($A$1*A7;$B$1*A8;$C$1*A9;$D$1*A10;$E$1*A11;$F$1*A12;$G$1*A13;$H$1*A14;$I$1*A15;$J$1*A16;$K$1*A17;$L$1*A18;$M$1*A19)» и нажать "Enter":
Шаги 4, 6, 8, 10 повторяются, как при max-min-композиции (она же максиминная композиция).
Шаг 5 (по аналогии - Шаги 7, 9 и 11). Ячейке О2 присвоить значение «=макс($A$2*A7;$B$2*A8;$C$2*A9;$D$2*A10;$E$2*A11;$F$2*A12;$G$2*A13;$H$2*A14;$I$2*A15;$J$2*A16;$K$2*A17;$L$2*A18;$M$2*A19)» и нажать "Enter":
и т.д. Наконец,
Шаг 12. Выделить ячейку О4, навести курсор на правый нижний угол ячейки О4 до появления плюсика, нажать ПКМ и, удерживая её утопленной, провести курсор до ячейки U4:
Таким образом, получившаяся таблица соответствует бинарному нечёткому отношению, являющемуся max-prod-композицией (суперпозицией) заданных бинарных нечётких отношении R и S.
В качестве Упражнения для следующих универсальных множеств X, Y и Z задайте элементы этих множеств, постройте бинарные нечёткие отношения R и S на X * Y и Y * Z соответственно, запишите эти бинарные нечёткие отношения в виде матриц (таблиц), сформулируйте описательные свойства бинарных нечётких отношений R и S, определите нечёткие композиции по обеим формулам (max-min и max-pro) нечётких отношений R и S. Результаты приведите в виде комментариев под материалом.
Если нет дополнительных указаний, то | X | = | Y | = | Z | = 7.
Замечание: характеристические свойства универсальных множеств X, Y и Z можно придумать и задать самостоятельно.
1.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – наследственные факторы},
Z = {z: z – способности ребёнка}.
2.
X = {x: x – натуральное число},
Y = {y: y – натуральное число},
Z = {z: z – натуральное число}.
3.
X = {x: x – простое число},
Y = {y: y – простое число},
Z = {z: z – простое число}.
4.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – число лет},
Z = {z: z – этап развития человека} = {младенец, малыш, ребёнок, подросток, взрослый}.
5.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – рост в сантиметрах},
Z = {z: z – характеристика роста} = {карликовый, небольшой, средний, высокий, гигантский}
6.
X = {x: x – продукт},
Y = {y: y – внутренний состав} = {белки, жиры, углеводы, витамины, минеральные вещества},
Z = {z: z – продукт}.
7.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – способность},
Z = {z: z – профессия}.
8.
X = {x: x – фамилия школьника},
Y = {y: y – способности},
Z = {двоечник, троечник, хорошист, отличник},
| Z | = 4.
9.
X = {x: x – фамилия игрока},
Y = {y: y – характеристика компьютерной игры},
Z = {z: z – название компьютерной игры}.
10.
X = {x: x – кандидаты на поездку},
Y = {y: y – достопримечательности},
Z = {z: z – страна}.
11.
X = {x: x – фамилия спортсмена},
Y = {y: y – физические способности},
Z = {z: z – вид спорта}.
12.
X = {x: x – кандидаты на поездку},
Y = {туризм, работа, отдых, место жительства}, | Y | = 4.
Z = {z: z – город в Приморском крае},
13.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – характеристика транспортного средства},
Z = {z: z – вид транспорта}.
14.
X = {x: x – марка автомобиля},
Y = {y: y – характеристика автомобиля},
Z = {z: z – вид соревнования}.
15.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – характеристика автомобиля},
Z = {z: z – марка автомобиля}.
16.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – характеристика компьютера},
Z = {z: z – тип операционной системы}.
17.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – жанр художественного фильма},
Z = {z: z – название художественного фильма}.
18.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – музыкальный жанр},
Z = {z: z – название музыкальной группы}.
19.
X = {x: x – материк},
Y = {y: y – погодные условия},
Z = {z: z – вид животного}.
20.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – качество животного},
Z = {z: z – домашнее животное}.
21.
X = {x: x – континент},
Y = {y: y – погодные условия},
Z = {z: z – растение}.
22.
X = {x: x – тип кодека},
Y = {y: y – характеристика кодека},
Z = {z: z – тип видео формата}.
23.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – талант},
Z = {z: z – роль}.
24.
X = {x: x – компания-производитель телефонов},
Y = {y: y – параметры телефона},
Z = {z: z – фамилия мужчины}.
25.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – параметры квартиры},
Z = {z: z – район расположения квартиры}.
26.
X = {x: x – садово-огородная культура},
Y = {y: y – тип обработки садово-огородных культур},
Z = {z: z – месяц}.
27.
X = {x: x – фамилия мужчины},
Y = {y: y – жанр литературного произведения},
Z = {z: z – название литературного произведения}.
28.
X = {x: x – предметы в школе},
Y = {y: y – дисциплина "Дискретная математика"},
Z = {z: z – дисциплины в ВУЗе}.
29.
X = {x: x – раздел дисциплины "Дискретная математика"},
Y = {y: y – сложность раздела дисциплины "Дискретная математика"},
Z = {z: z – количество времени для изучения раздела}.
30.
X = {x: x – фракция в Heroes of Might and Magic} = {Лига Теней, Инферно, Лесной Союз, Орден Порядка, Академия Волшебства, Некрополис}
Y = {y: y – возможности существ в Heroes of Might and Magic} = {нападение, защита, колдовство},
Z = {z: z – наилучший герой}.
| X | = 6, | Y | = 3, | Z | = 1.