В комментариях мы часто видим вопросы о том, какой практический вес несет наша работа по трехмерной параметрической оптимизации, насколько это все применимо на практике, почему мы не взяли 100 видов вентиляторов с Алиэкспресс и не провели оптимизацию по результатам натурного эксперимента. Поэтому в этой статье мы предлагаем разобраться в развитии современных подходов численного моделирования физических процессов. Поговорим подробнее о том, какую вычислительную гидрогазодинамику и модели турбулентности мы упоминаем в наших материалах, а также, что такое метод конечных объемов, зачем нужно проводить сеточную сходимость и как правильно применять тот или иной подход в реальных инженерных задачах.
Пример визуализации обтекания сверхзвукового самолета Конкорд, полученного методами вычислительной гидродинамики, приведен на рисунке 1, подобный расчет раньше не представлялся возможным.
Проблемы современной гидродинамики и что такое CFD?
CFD или Computational Fluid Dynamics с английского дословно переводится как Вычислительная Динамика Жидкости. Обычно в отечественной литературе ее называют Вычислительная Гидрогазодинамика. Вычислительной она называется потому, что решает все свои задачи численно, а не аналитически. К этому есть несколько предпосылок.
Во-первых, отсутствие единого аналитического решения. Основные уравнения и законы гидродинамики, выведенные еще в 18-19 веках такими учеными как Эйлер и Бернулли, затем были обобщены в систему уравнений Навье-Стокса. Получившаяся система дифференциальных уравнений является нелинейной, чувствительной к параметрам и в большинстве случаев не имеет аналитического решения. Более того, существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса является одной из 7 задач тысячелетия!
Во-вторых, в 20 веке с развитием авиации, кораблестроения и энергетики потребовались точные расчеты для сложных геометрических форм и физических условий, которые также затрудняют нахождение аналитического решения к каждой задаче. Кроме того, далеко не всегда возможно проведение реального эксперимента. Например, для изучения различных аварийных ситуаций и катастроф лучше все же использовать виртуальные испытания, то есть моделировать данный процесс на компьютере.
В-третьих, одной из главных проблем современной гидродинамики, как и 100 лет назад, остается турбулентность. Несмотря на то, что турбулентность подчиняется вышеупомянутым уравнениям Навье-Стокса, для «честного» решения задач вычислительных мощностей недостаточно, даже при современном технологическом прогрессе. На рисунке 2 и 3 продемонстрированы турбулентные течения, возникающие в природе.
Методы аппроксимации производных
Разберемся, почему современные компьютеры не в состоянии быстро решать уравнения Навье-Стокса. Для начала поговорим о переходе от аналитических производных к численным. При моделировании сплошной среды на компьютере (рука тянулась написать ЭВМ) расчетная область задачи разбивается на сетку. Затем дифференциальные уравнения заменяются их численными аналогами, используя значения в узлах сетки. В основном, способы численной аппроксимации производных делятся на три типа:
- Метод конечных разностей (Finite Difference Method, FDM). МКР аппроксимирует производные в дифференциальных уравнениях, заменяя их разностными выражениями. Численные производные рассчитываются по значениям в соседних узлах. Метод хорошо подходит для прямоугольных областей с простыми граничными условиями.
- Метод конечных элементов(Finite Element Method, FEM). МКЭ использует для аппроксимации элементы (треугольники, квадраты, тетраэдры и т.д.). Функция решения аппроксимируется в каждом элементе с помощью значений в каждой из узловых точек элемента. Каждое уравнение сводится к системе алгебраических уравнений. Хорошо подходит для сложной геометрии. Этот метод хорошо себя зарекомендовал при решении «прочностных» задач.
- Метод конечных объемов (Finite Volume Method, FVM). МКО отличается от двух предыдущих тем, что основывается на законах сохранения. Он использует значения не в узловых точках, а в центрах ячеек (объемов), вычисления основываются на потоках величин через границы этих объемов. Именно он обычно используется для решения уравнений гидродинамики.
Формально различия между методами представлены на рисунке 4.
Остановимся на МКО, так как именно конечно-объемные сетки описывают аэро- или гидродинамические процессы, возникающие в непосредственной близости от объекта исследований. Для того, чтобы убедиться в том, что построенная численная аппроксимация производных точно решает систему уравнений, обычно проводят исследования на сеточную сходимость.
В рамках исследования сеточной сходимости задача последовательно решается на сетках с разным количеством ячеек. Так при последовательном измельчении сетки получаемое решение и характерные величины в задаче, например, тяга и момент, изменяются все меньше, таким образом сходясь к точному решению. Доказательство сеточной сходимости позволяет говорить о том, что полученное течение хорошо повторяет предполагаемое реальное.
Разобравшись в том, как работает численное дифференцирование, поговорим о подходах, используемых при решении уравнений Навье-Стокса.
Численные подходы к решению уравнений Навье-Стокса
Основной проблемой решения уравнений Навье-Стокса, как мы говорили ранее, является турбулентность и ее высокая чувствительность к параметрам задачи. Так, при высоких числах Рейнольдса сильно изменяются масштабы возникающих вихрей и все больше начинают преобладать инерционные силы, что приводит к более хаотичному поведению решения.
Первый из рассматриваемых нами подходов носит название метода прямого численного моделирования (в англ. Direct Numerical Simulation или DNS). В нем «честно» решаются уравнения Навье-Стокса без применения моделей турбулентности, но он является исключительно требовательным к размерам расчетных сеток, и позволяет решать уравнения только на сетках очень большой размерности с мелкими ячейками. На видео ниже видно, насколько разные масштабы турбулентности возникают при обтекании тел разной геометрии. Для полного разрешения всех мелких вихрей и нужны подробные сетки.
Второй метод моделирования крупных вихрей (англ. Large Eddy Simulation, LES) основывается на разделении (с помощью процедуры фильтрации) масштабов турбулентности на крупные и мелкие путем фильтрации (Рис. 5). Крупные масштабы рассчитываются на сетке явно, а мелкие вихри моделируются на основе подсеточных (subgrid-scale, SGS) моделей турбулентности.
Несмотря на упрощение в сравнении с DNS, метод LES остается требовательным к расчетной сетке.
Поскольку первые два подхода требуют сеток большой размерности, а следовательно, и больших вычислительных ресурсов, были созданы менее требовательные к сеткам подходы, основанные на осредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса (англ. Reynolds-Averaged Navier-Stokes, RANS). RANS-подход разделяет рассчитываемые величины на их осредненные и пульсационные составляющие. Новая осредненная по Рейнольдсу система уравнений становится незамкнутой. Для замыкания обычно используются полуэмпирические модели турбулентности. О самых популярных из них мы будем говорить ниже.
Существует также совмещенный подход моделирования присоединенных вихрей (англ. Detached Eddy Simulation, DES). Он совмещает в себе RANS и LES подходы: режим RANS «включается» только в областях потока, где сетка недостаточна для разрешения турбулентных структур, а режим LES – в остальной части потока.
Разницу между RANS и DES подходами хорошо видно на рисунках 6 и 7. RANS моделирует все вихри, осредняя их по времени, потому и получает почти невозмущенные, вихревые трубки, сходящие с рубки подводной лодки. В то время, как DES демонстрирует очень подробное решение вихрей за рубкой, поскольку он решает эти вихри напрямую, не прибегая к осреднению.
Мы подробнее остановимся на RANS-подходе, так как именно этот метод идеален с точки зрения «цена/качество» для большинства инженерных задач.
Часто используемые модели турбулентности
Перейдем к тому, какие модели турбулентности обычно используются в современных расчетах методом RANS. Эти модели описывают влияние турбулентности на течение, вводя дополнительные уравнения, определяющие неизвестные величины (масштабы турбулентности). Модели классифицируются по типу (алгебраические и дифференциальные), а также по количеству используемых уравнений. Алгебраические модели практически не используются, поскольку дифференциальные модели показали существенно большую точность и эффективность.
- Модель Спаларта-Алмараса (Spalart-Allmaras, SA). Содержит одно дифференциальное уравнение относительно аналога вязкости, который называют переменной Спаларта-Алмараса. Она связана с турбулентной вязкостью алгебраическим соотношением. В качестве линейного масштаба турбулентности используется расстояние до стенки. Разрабатывалась данная модель для задач внешней аэродинамики, но оказалось, что ее область применимости гораздо шире благодаря ряду поправок, введенных в исходное уравнение. Например, может вводится поправка на кривизну, вращение и шероховатость.
- Модель k-ε. Для описания турбулентности используются два уравнения для двух масштабов: энергии турбулентности и диссипации турбулентности. Существует высокорейнольдсовая модель для относительно грубых сеток, которая для описания эффектов в пограничном слое использует пристеночные функции. Также есть низкорейнольдсовая модель, которая для учета влияния стенок использует демпфирующие функции. Данная модель хорошо рассчитывает свободные течения, но не всегда правильно предсказывает точки отрыва.
- Модель k-ω. Аналогично предыдущей модели, k-ω использует два дифференциальных уравнения. Но вместо удельной диссипации ε используется скорость диссипации ω. Оказалось, что модель может рассчитывать течение вблизи стенки без введения дополнительных функций, что выгодно отличает ее от моделей типа k-ε. Тем не менее, модель оказалась слишком чувствительной к условиям на внешней границе потока. Для решения этой проблемы Флорианом Ментером была предложена гибридная k-ω SST модель. Поскольку k-ω хорошо разрешает турбулентность вблизи стенки, а k-ε хорошо описывает течение в свободном потоке, Ментер предложил объединить эти модели в одну. Так, SST модель в зависимости от расстояния до стенки плавно переключается между k-ε и k-ω моделями. Благодаря этому в пристенной области она использует k-ω, а в свободном потоке – k-ε. В результате модель Ментера существенно превосходит по точности другие модели турбулентности, но уступает в производительности моделям с одним уравнением.
На рисунке 8 представлена типовая задача внутреннего течения через канал с обратной ступенькой (в англ. backward step), решение получено двумя разными моделями k-ε и k-ω SST. Как можно видеть на рисунке ниже (Рис. 9), продольная составляющая касательного напряжения на нижней стенке канала отличаются. Место, где значение трения на стенке меняет знак, характеризует точку присоединения потока. Легко заметить, что модель Ментера предсказывает эту точку лучше, чем модель k-ε. Это вызвано различным описанием пристеночного течения в моделях и их несовершенностью, однако можно видеть, что расхождение с экспериментом невелико.
Важно понимать, что экспериментальные методы тоже имеют погрешность, иногда большую, чем численный эксперимент.
Применение методов на реальных инженерных задачах
Все сказанное выше может ввести в заблуждение, и у читателя возможно возникнет разумный вопрос: «Какой подход выбрать, чтобы посчитать что-то практически применимое?». Если исходить из соотношения время/качество, альтернатив RANS подходу нет. При выборе модели турбулентности для RANS разумно остановится на k-ω SST Ментера, поскольку она наименее требовательна к условиям задачи. Также эта модель имеет множество поправок, которые позволяют расширить границы ее применимости.
Если же необходимо подробнее разрешить вихревые структуры (как на рисунке 6), для того чтобы оценить их влияние на объекты ниже по потоку, можно использовать DES подход. Однако задачи такого уровня сложности встречаются редко, и бОльшая часть инженерных задач чудесно закрывается RANS подходом.
Что важно запомнить?
Сегодня математическое моделирование становится все более востребованным для решения сложных инженерных задач. В этой статье мы рассмотрели современные проблемы и методы вычислительной гидрогазодинамики. Давайте кратко подытожим ключевые моменты:
- Что такое CFD? Computational Fluid Dynamics – раздел гидродинамики, который решает задачи методами численного моделирования. Он особенно востребован в задачах, где аналитическое решение недоступно, а таких задач большинство.
- Что за аппроксимация производных? Это подходы к численному расчету производных. Они могут меняться в зависимости от специфики решаемой задачи. Чаще всего используют три метода: Метод Конечных Разностей (МКР), Метод Конечных Элементов (МКЭ) и Метод Конечных Объемов (МКО), однако именно МКО является наиболее обоснованным для решения задач гидрогазодинамики.
- Какие численные подходы решают проблему турбулентности? Для численного решения уравнений гидродинамики сформулированы разные подходы. В их числе: Direct Numerical Simulation (DNS), Large Eddy Simulation (LES), Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), Detached Eddy Simulation (DES) и другие. В современных инженерных расчетах обычно используют RANS и DES подходы, поскольку они обеспечивают достаточную точность, но заметно дешевле по затрачиваемым ресурсам.
- Какую модель турбулентности выбрать? За время существования RANS подхода было предложено большое количество различных моделей турбулентности. Наиболее практичной оказывается модель k-ω SST Ментера. Хотя она и уступает по производительности более простым вариантам, но позволяет точнее предсказывать поведение потока.
- Почему RANS подход идеален в современных расчетах? Как правило результаты инженерных расчетов нужны «вчера», это накладывает существенные ограничения на время расчетов. RANS позволяет решать задачи на сетках с существенно (на несколько порядков) меньшим количеством ячеек, чем DNS и LES подходы. При этом погрешность, например, в интегральных величинах, оказывается незначительной.
Подводя итоги, ответим на главный вопрос статьи "Что в итоге с модельными и натурными экспериментами?". Как можно было понять, статья обосновывает использование именно вычислительных средств, но эксперименты никуда не уходят. Напротив, все модели турбулентности калибруются на основе результатов экспериментов и модельных задач. Это позволяет утверждать, что результаты, полученные численно (при доказательстве сеточной сходимости и адекватной математической модели), сопоставимы по точности с результатами экспериментов.
Если вам была интересна данная статья, то поддержите нас лайком! В следующих материалах мы поговорим о современных подходах в оптимизации и расскажем, как инженерная оптимизация помогает специалистам в самых разных отраслях промышленности. Чтобы не пропустить наши следующие материалы, подпишитесь на этот Дзен-канал. Если же у вас остались вопросы, то не стесняйтесь задавать их в комментариях.
Литература
- Trias, F. X., Gorobets, A., & Oliva, A. (2015). Turbulent flow around a square cylinder at Reynolds number 22,000: A DNS study. Computers & Fluids, 123, 87–98. https://doi.org/10.1016/J.COMPFLUID.2015.09.013
- Гарбарук, А. В., Стрелец, М. Х., Шур, М. Л., & Пособие, У. (n.d.). Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный политехнический университет МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В РАСЧЕТАХ СЛОЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ.
Возможно вам будет интересно:
