Если вы хотите сдать ЕГЭ по профильной математике на высокий балл, то обходить стороной тригонометрию у вас не выйдет. Всё дело в том, что задания по этой теме встречаются как в первой, так и во второй части и терять драгоценные баллы за простые задания мало кому хочется. Эта статья будет полезна не только тем, кто только начинает свой путь в тригонометрии, но и тем, кто пришёл сюда повторить изученный ранее материал.
Тригонометрия - не такая сложная тема. И мы докажем вам это! Ну что, погрузимся в мир математики вместе? 1 Начинаем с основ: измерение углов в градусах и радианах. Для измерения углов используют две основные единицы - градусы и радианы. Напомним, что полный круг составляет 360◦ . Но существует и другая мера измерения углов – через радианы.
1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности.
Так как полная длина окружности вычисляется по формуле L = 2πR, то отсюда нетрудно догадаться, что полная длина окружности, выраженная в радианах равна 2π. Перевести градусы в радианы и наоборот не составляет особого труда, для этого достаточно лишь составить пропорцию.
Зачем мы вводили понятие радиан?
Хороший вопрос. Дело в том, что на тригонометрической окружности, о которой мы поговорим чуть позже, удобно использовать именно радианное измерение углов, вместо привычной всем градусной.
Табличные значения радиан основных тригонометрических функций
Существуют основные значения радиан тригонометрических функций, которые необходимо запомнить. Таблица с ними представлена ниже:
Заметим, что запомнить данную таблицу не так сложно, для этого достаточно:
1. "Проставить" числа от 0 до 4 в числителе для синуса и то же самое, но только в обратном порядке для косинуса
2. Для каждого из таких чисел, "дорисовать" знаменатель равный 2.
3. Извлечь корень из числителя и преобразовать выражения к удобному виду (например √ 0 2 = 0 и т.д.).
Зная тригонометрические формулы tg α = sin α cos α и ctg α = cos α sin α мы легко можем найти соответствующие значения радиан.
Вводим единичную тригонометрическую окружность
Единичная окружность - окружность с радиусом равным 1.
Для наглядности, изобразим таблицу основных значений радиан на тригонометрической окружности.
Заметим её основные особенности:
• Положительным значениям градусов/радиан, относительно нуля, соответствует вращение против часовой стрелки, отрицательным - по часовой.
• Уточним, что, значению, равному 90◦ соответствует π/2 радиан. Сделав полный оборот (2π радиан), мы возвращаемся в исходную точку. При этом каждой точке на единичной окружности соответствует бесконечное множество значений, выраженных в радианах.
• Синусом будем называть ординату на тригонометрической окружности, косинусом - абсциссу. Итак, каждая точка на окружности может быть выражена в координатах косинуса и синуса соответственно.
Из последнего факта следует фундаментальное свойство - основное тригонометрическое тождество
sin² x + cos² x = 1
С 9 класса вы знаете, что тригонометрические функции не всегда принимают положительные значения при действительном угле. На рисунке ниже представлены знаки, которые принимают различные функции в зависимости от четверти:
Предлагаем доказать замечательное свойство чётности косинуса и нечётности синуса.
Итак, предположим, что мы сместились на ∠α вдоль положительного направления окружности и на этот же угол, только в отрицательном направлении. Удивительно, но абсциссы (значения косинуса) данных точек будут совпадать. Что касается ординаты, то она будет иметь в точности противоположное значение, что у первой точки. Обобщим доказанные утверждения в виде формул:
sin(−α) = − sin(α)
cos(−α) = cos(α)
Вспомнив формулы, связывающие эти функции с тангенсом и котангенсом, получаем ещё 2 формулы:
tg(−α) = −tg(α)
ctg(−α) = −ctg(α)
В связи с таким поведением функций при отрицательном значении угла, будем называть sin, tg, ctg - нечётными, а cos - чётной.
Формулы приведения и "правило лошади"
В задачах от нас часто требуют преобразовать аргумент известной тригонометрической функции в более простой вид. В этом нам помогут "формулы приведения". Вот и они:
Запоминать их все конечно не нужно! Удивительно, но все эти формулы умещаются в одно простое правило, запомнив которое "формулы приведения" уже не будут казаться такими страшными. Итак, для того, чтобы преобразовать тригонометрическое выражение нужно:
1) Представить аргумент функции в виде π 2 ±α , π±α , 3π 2 ±α , 2π±α (где α− угол от 0◦ до 90◦ ).
2) Задаём себе вопрос: "Меняется ли функция на противоположную" (она меняется если аргументом является π/2 ± α или 3π/2 ± α ), иначе - нет. Запоминать это не нужно, достаточно вспомнить где находятся четыре ключевые точки и если точка из аргумента находится на вертикальной оси (мы киваем вдоль неё, говоря "да"), то функция меняется, если же на горизонтальной(киваем, говоря "нет"), то не меняется.
3) Определяем знак перед функцией. Для этого вспоминаем знаки тригонометрической окружности для функций в 4-х четвертях. Это придётся выучить.
Вуаля! Преобразование завершено!
Поздравляем, только что вы, выучив одно тривиальное правило, запомнили целых 32 формулы. Круто, не правда ли? Но это только начало!
Давайте потренируемся на прототипах задания №6
Найдите значения выражений:
Другие важные тригонометрические формулы
А что делать, если аргумент тригонометрической функции нельзя разложить с помощью формул приведения? В таком случае на помощь приходят более универсальные формулы, знать которые просто необходимо на экзамене.
Вот они:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
Из этих уравнений следуют, например, формулы синуса/косинуса двойного и тройного углов. Давайте запишем их:
sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos² α − sin²α
sin(3α) = sin(2α + α) = 3 sin α − 4 sin³ α
cos(3α) = cos(2α + α) = 4 cos³ α − 3 cos α
Нельзя не упомянуть следующий факт - так как мы всё это время рассматривали поведение тригонометрических функций на единичной окружности, то справедливо, что область значений таких функций от −1 до 1. Запишем это в более строгом виде:
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1
Немного попрактикуемся
Фух, с основной теорией мы закончили, предлагаем решить простенькое тригонометрическое уравнение для тренировки.
Решите уравнение: sin x = 1/2
Итак, первый шаг, вспоминаем, синус какого числа равен 1/2 ?
Конечно же π/6 . Получается x = π/6 ? Не совсем так. Помните, в начале мы говорили о том, что одной точке на единичной окружности может соответствовать бесконечное количество значений. Именно поэтому, мы просто обязаны учесть всех их. Для этого вспомним, что функции синуса и косинуса имеют период равный 2π , а тангенс и котангенс - π. Но это ещё не всё, ведь на окружности есть ещё одна точка, синус которой равен 1/2 , ей будет соответствовать π − π/6 = 5π/6 радиан. Итак, решениями данного уравнения будут x = π/6 + 2πk x = 5π/6 + 2πk, где k ∈ Z.
Обратные тригонометрические функции
Сегодня мы непроизвольно уже обращались к обратным тригонометрическим функциям, когда решали уравнения. Вспомним, как мы его решили. Мы спросили у себя: "Синус чего равен 1/2 "? И ответ мы дали, опираясь на интуицию, но так как математика - наука точная, интуиции тут не место. На самом деле, мы могли выразить x , не зная точного значения радиан. В этом нам помогут обратные функции. Начнём с определений:
Арксинусом числа x называется число ϕ ∈ [− π/2 ; π/2 ], такое что sin ϕ = x .
Арккосинусом числа x называется число ϕ ∈ [0; π] , такое что cos ϕ = x .
Арктангенсом числа x называется число ϕ ∈ [− π/2 ; π/2], такое что tgϕ = x
Арккотангенсом числа x называется число ϕ ∈ (0; π) , такое что ctgϕ = x .
На самом деле существует огромное количество пар таких функций - прямых и обратных им. Например, возведение в степень и извлечение корня. Зачем нужны обратные тригонометрические функции? Хороший вопрос, по ясним на примере.
Решите уравнение: sin x = 1/4
Хммм... Решить его так просто не выйдет, ведь 1/4 - не табличное значение. Оказывается, находить точный корень в этой задаче и не нужно, для решения, достаточно выразить x. И тут на помощь приходят обратные функции. Для решения извлечём арксинус из обоих частей. Тогда в левой части останется искомый корень, а в правой аркфункция. Но важно не забыть про ещё один корень, ведь линия синусов, проходящая через точку 1/4 пересекает окружность в двух точках. Ей будет соответствовать π − arcsin(1/4 ) радиан.
Запишем ответ на эту задачу:
x = arcsin 1/4 + 2πk, x = π − arcsin 1/4 + 2πk, где k ∈ Z.
Всё, теперь мы готовы перейти к решению задачи под номером 13 из ЕГЭ. Решите уравнение:
a) 2 cos 2x sin x − √ 3 sin x + 2 cos 2x = √ 3
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [− π/2 ; 3π/2] .
Итак, начнём с простых преобразований выражения. Сгруппируем исходное уравнение:
2 cos 2x(sin x + 1) − √ 3(sin x + 1) = 0
(sin x + 1)(2 cos 2x − √ 3) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Теперь, подобно тому, что мы делали раньше, решаем совокупность из двух уравнений:
б) Отберём корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого:
1. Изобразим саму окружность и корни на ней
2. Найдём крайние точки промежутка и заштрихуем область, которая входит в этот участок.
3. Исключим корни, которые не вошли в искомый промежуток.
4. Найдём сами корни, с учётом количества "оборотов окружности которые мы совершили, а также знака корня.
Разберёмся на примере:
Итак, корни мы изобразили, теперь обратимся к промежутку: нам повезло, ведь вся область окружности входит в искомый отрезок, а значит все корни подойдут.
Корень − π/2 подходит, осталось определиться с оставшимися. Так как каждый из знаков решений порождает 2 корня, то в результате их будет 4. Одна пара отмечена на рисунке - это − π/12 и 11π/12 , а другая будет иметь противоположный знак, но так как нас не интересуют значения меньшие чем π 2 , то оставшимися двумя корнями будут π/12 и 13π/12 .
Ответ: а) x = − π/2 + 2πk; ± π/12 + πk , где k ∈ Z б) π 2 ; − π/12 ; 11π/12 ; π/12 ; 13π /12
Что прочитать кроме этой статьи?
Конечно, мы могли бы сказать вам, что этой статьи достаточно, чтобы решить всю тригонометрию на ЕГЭ, но это не так, ведь весь полученный материал необходимо ежедневно оттачивать на практике. Только так вы сможете напрочь убить № 13.
В этой книге представлен широкий спектр задач по тригонометрии с разным уровнем сложности. Справитесь со всеми задачками?
Тут собрана абсолютно вся информация по тригонометрии в сжатом виде. Идеально подходит для повторения изученного материала.
Несмотря на то, что издательство этого пособия датируется 2019 годом, актуальности оно нисколько не потеряло. Здесь вы найдёте всю необходимую теорию и задачки по номеру 13. Также в учебнике присутствует много разобранных задач с эталонным оформлением на экзамене.
Сборник 100+ задач с ответами для набивания руки. Ничего сложного - все задачи очень простые!
Домашнее задание:
1) а) Решите уравнение:
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [2π; 7π/2] .
2) а) Решите уравнение:
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [− 3π/2 ; π/3]
3) а) Решите уравнение:
б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [0; π]
Заключение
Кидай эту статью друзьям и не ленись подписаться на наши каналы в социальных сетях, мы старались для тебя
