Это некоторые рассуждения по мотивам поста в одном из научно-популярных пабликов, в котором упоминался гравитационный маневр. В космонавтике часто используется этот маневр, в котором космический аппарат увеличивает скорость, облетая небесное тело — Юпитер, например.
Дискуссия началась с уточнения, что в маневре непременно участвует три тела: сам аппарат, Юпитер и ещё одно тело — например, Солнце. В системе двух тел получить энергию невозможно.
Дискуссия, которая развернулась, оказалась очень поучительной и показывающей как разницу между пониманием принципов и загрузкой в мозг терминов, навыков и формул, так и разницу между умением разбираться и сомневаться и глупoвaтoй самоуверенностью.
Так почему же нужно три тела? Энергия сохраняется, но если аппарат улетел в бесконечность и унес энергию, то ведь ее могло потерять второе тело, разве нет?
Давайте сначала докажем, что нет, это невозможно. Пусть аппарат в начальный момент не может улететь в бесконечность (недостаточно быстро движется, не может преодолеть гравитацию Солнца, или Земли, или Юпитера), а после маневра — может. Тогда этот факт — что он может — верен в любой системе отсчета. А если в какой-то неверен, то и в любой другой тоже.
Систему отсчета выберем инерциальную и сопутствующую Юпитеру — то есть в начальный момент времени Юпитер в этой системе покоится. В начальный момент аппарат имеет кинетическую энергию E₁, Юпитер — нулевую, и еще есть потенциальная энергия P(x), где x — начальное расстояние между аппаратом и Юпитером.
Потенциальная энергия возрастает по x и определена с точностью до константы (важна разность энергий), так что положим ее равной нулю в бесконечности. Мы полагаем, что аппарат смог улететь в бесконечность, пусть и потеряв всю скорость (параболическая траектория). Тогда его кинетическая энергия стремится к нулю, потенциальная тоже. Полная энергия сохраняется, то есть начальная энергия системы E₁ + P(x) равна энергии Юпитера E₂.
Но ведь мы предположили, что аппарат не обладал энергией для ухода в бесконечность, то есть E₁ + P(x) < 0. Получается, что энергия E₂ Юпитера отрицательна. Но энергия — это квадрат скорости и отрицательной быть не может. Противоречие.
Если вам не по нраву работа с бесконечностью и манипуляции и потенциалами, можно иначе: в тот момент, когда маневр уже проведен и расстояние опять равно x, потенциальная энергия такая же, как вначале, и сократится. Закон сохранения тогда гласит: E₁ + P(x) = E₂ + E₃ + P(x), причем конечная скорость аппарата E₃ > E₁. Отсюда тоже следует, что Юпитер приобрел отрицательную энергию.
Теперь рассмотрим возражения.
Во-первых, как быть с обычной ракетной задачей, в которой два тела с успехом разгоняются?
Мы разбирали эту задачу со всех сторон. В ней сохраняется импульс, а закон сохранения механической энергии нарушается. Ничего страшного в этом нет, потому что энергия как ракеты, так и топлива берется из химической или какой-то еще энергии топлива. В фотонной ракете, в которой вся масса так или иначе превращается в энергию, закон сохранения энергии выполнен.
В обычной задаче о ракете тоже можно добиться выполнения закона, но нужно точно знать, сколько энергии отдает топливо. Потому что, строго говоря, выброшенная за борт масса — это выброшенная энергия.
Кроме того, гравитация — чисто притягивающая сила, оттолкнуться с ее помощью (или оттолкнуть) невозможно. Обладай Юпитер отрицательным электрическим зарядом, как и аппарат, то вполне мыслимо было бы получить ускорение за счет Кулона. Но тогда и баланс энергии был бы совсем другой.
А что, если работать в системе, сопутствующей аппарату? Тогда вначале его энергия нуль, а в конце положительная, и прирост этот взят из энергии Юпитера.
Во-первых, надо проверить, возможно ли это. Ведь отсутствие противоречия не доказывает возможности (а вот наличие — доказывает невозможность).
Но всё куда проще. Посмотрим на Луну. Давайте примем, что расстояние до неё 1 световая секунда, то есть около 300 тысяч км, орбита круговая, период обращения 30 дней. Тогда скорость составляет 10 тыс км в день и это первая космическая скорость: если скорость на таком расстоянии меньше, то тело будет витками падать, а если немного больше, то обращаться по эллипсу. Если скорость ровно в √2 больше (вторая космическая) тело по параболе уйдет в бесконечность, а если больше — то по гиперболе. Разница в том, что гипербола приближается к своей асимптоте: простыми словами, тело не просто улетит в бесконечность — оно ещё и двигаться будет всё более прямолинейно, забывая о покинутом хозяине. Корень из двух это примерно 1.4142.
Выберем систему отсчёта, в которой Луна в начальный момент покоится. Через две недели ее скорость в этой системе отсчета будет примерно 20 тысяч км в день, что уже вполне гиперболическая скорость! Но Луна не улетает. Потому что хотя и можно работать в какой угодно системе отсчёта, лучше выбирать наиболее естественные, а без особой подготовки это единственный вариант.
В задаче трех тел всё понятно: аппарат получает энергию, уменьшая потенциальную энергию двух других тел. Простыми словами — подталкивая Юпитер ближе к Солнцу. Если сильно упрощать и полагать, что положение аппарата несильно изменилось за маневр, только выросла его скорость, то в начале энергия системы в гелиоцентрической системе была E₁+E₂+P(x), где первые два слагаемых — кинетические энергии аппарата и Юпитера, а третье — потенциальная энергия, а в конце E₃+E₄+P(y), где всё так же. Поскольку Юпитер в любом случае обращается вокруг Солнца по орбите, скорость его равна первой космической для данного расстояния, так что можно обозначить E₂+P(x)=G(x), E₄+P(y)=G(y) — это полная энергия Юпитера. Тогда закон сохранения даёт E₁+G(x)=E₃+G(y). Зная энергию до и после и начальную энергию Юпитера, можно рассчитать, на сколько он приблизится к Солнцу (ненамного), отдав эту энергию аппарату. Правда, как это именно сделать — самый интересный вопрос.
Поучительно ещё, что многие реально живут в парадигме абсолютного движения и совершенно искренне утверждают, что "на самом деле" Юпитер движется и эту энергию можно у него забрать. Люди, обременённые дипломами, сдававшие (наверняка) экзамены по механике, векторной алгебре и теории групп и успешно работающие инженерами. Это интересный феномен — пассивных знаний, это примерно как выучить наизусть словарь. Слов будешь знать много, можешь даже грамотно написать или прочитать что-то хитрое, но языком — не владеешь. А надо именно владеть.
Можно еще кое-что добавить. Если ясно мыслить, то становится понятно, что задача именно преодолеть гравитацию Солнца. И улететь от него сколь угодно далеко, у унести энергию. Вопрос - чью? Понятно, что Юпитер этого даже не заметит, но ведь могло быть иначе. Будь аппарат побольше, Юпитер можно было бы, потихоньку, вообще столкнуть с орбиты. Так что тел изначально три.
Если же бороться только с Юпитером, то изначально ясна бредовость попыток отнять у него энергию, ибо энергию чего? Кинетическую, очевидно, больше никакой у нас нет. Но кинетическая энергия может равняться нулю. А если не равняется, то всегда есть система отсчета, в которой она ненулевая.
Запустив триллионы аппаратов, мы остановили Юпитер. Ну, допустим. Он остановился. Мы берем аппарат, разгоняем его немножко - и относительно аппарата Юпитер движется (медленно) и обладает за счет своей огромной массы огромной же энергией. Которую мы продолжаем вычерпывать.
Ах, какие перспективы открываются! Даже жалко разочаровывать ув. читателя.