14. Линии и углы: тригонометрия

Проходка Симплонского туннеля длиной 20 км между Италией и Швейцарией велась с двух сторон. Когда в 1906 г. обе партии встретились, оказалось, что расхождение по горизонтали равно нулю, а по вертикали - 10 см. Инженерам удалось сгладить эту погрешность. Пользуясь тригонометрией, в толще Альп прорубили стороны (длиной 10 км) двух гигантских треугольников.

Синусы, косинусы и тангенсы

Тригонометрия - это искусство вычислять размеры треугольника. Она исходит из идеи о том, что отношения сторон прямоугольного треугольника зависят от величины угла при основании. Эти отношения называются синусом угла (sin А), косинусом (cos А), тангенсом (tg A) и т.д. Они были протабулированы для многих значений углов; sin А - отношение катета, лежащего против угла А, к гипотенузе, cos А -отношение катета, прилежащего к углу А, к гипотенузе, tg А -отношение противолежащего катета к прилежащему.

Вооружившись тригонометрическими таблицами, можно определить размеры любого треугольника с большой точностью. Поскольку почти всякую фигуру можно разбить на множество треугольников, тригонометрия дает мощный метод решения сложных геометрических задач. Чтобы воспользоваться им, строители туннелей намечают геодезический пункт, откуда видны концы туннеля, или (поскольку в горах выбрать такое место трудно) серию пунктов, позволяющих визировать другие пункты, из которых виден вход в туннель или выход из него. Затем они визируют направления из одного геодезического пункта на другой и определяют углы между направлениями, привязывая тем самым концы туннеля к сети пунктов. Высокая точность измерений (тысячные градуса) требует известного опыта, но математический принцип, лежащий в основе прокладки туннелей, предельно прост.

Тригонометрия в повседневной жизни

Тригонометрические отношения ныне встречаются во всевозможных математических задачах, не имеющих никакого отношения к углам. Теория электрических цепей, излучения электромагнитных волн и обработка информации - таков далеко не полный перечень наиболее плодотворных применений тригонометрии. Синус угла 0 равен 0. При увеличении угла синус возрастает и при 90: достигает значения 1. При увеличении угла от 90 до 180 синус убывает до 0. Синус угла от 180 до 270 отрицателен и убывает до - 1. При увеличении угла от 270 до 360: синус снова возрастает от - 1 до 0. Таким образом, если считать, что тригонометрический угол непрерывно возрастает оборот за оборотом, то на каждом обороте синус колеблется между -1 и +1. Такая периодичность позволила математикам создать аппарат для изучения колебаний различной физической природы, в том числе света, радиоволн, переменного тока. В большинстве европейских стран ротор генератора на электростанции совершает 50 оборотов в секунду. Снимаемое с генератора напряжение (изменяющееся как синус угла поворота) также колеблется с частотой 50 циклов в секунду (50 Гц). Этим и определяется основная частота тока в электрической сети. Некий фазовый угол, изменяющийся с соответствующей скоростью во времени, можно приписать любому источнику колебаний, даже излучателю света, частота которого составляет 600 млн. млн. Гц.

Любое колебание, каким бы сложным оно ни было, можно разложить в сумму синусоидальных (или косинусоидальных) колебаний с различными частотами. (Два камня, брошенные вместе в воду, порождают два набора круговых волн, которые встречаются и проходят друг через друга, восстанавливая первоначальную форму.) Аналогично человеческое ухо различает отдельные ноты в аккорде, хотя они образуют единую систему волн в воздухе или одну дорожку на грампластинке.

В основе тригонометрии лежат шесть отношений между элементами прямоугольного треугольника. Треугольники ABC, A'B'C' и A"B"C" (А) имеют один и тот же угол А при основании, поэтому a/b = a'/b' = a"/b". Более того, в любом прямоугольном треугольнике с углом А при основании отношение соответствующих сторон одинаково и называется тангенсом угла A (tg A). Например, если А = 45°, то a = b и tg 45° = 1. Другие отношения: b/a - котангенс (ctg А), а/с - синус (sin А), b/c косинус (cos A), c/b - секанс (sec A), с/а - косеканс (cosec A). Составлены таблицы этих отношений при любых углах: их можно вычислять на некоторых микрокалькуляторах. Синусы и косинусы позволяют вычислить стороны любого (не обяэательно прямоугольного) треугольника (Б) по формулам: a/sin А = b/sin В = с/sin С; а² = b² + с² - 2bc cos А (сторона а лежит против угла А, b - против угла В и т.д.).

Геодезическая съемка по методу триангуляции основана на возможности находить все элементы треугольника по стороне и двум известным углам. Расстояние 1-2 тщательно измеряется и служит базой. Выбрав реперную точку 3, геодезист, визируя ее из точек 1 и 2, находит углы треугольника 123, затем вычисляет местоположение точки 3 и длину стороны 23. Из точек 2 и 3 он визирует следующую реперную точку 4, затем 5 и т. д.

На сфере, как и на поверхности Земли, о расстояниях можно судить по углам, под которыми они видны из центра сферы. Расстоянию РВ соответствует угол РОВ. Положение точки на поверхности Земли определяется ее широтой (углом, отсчитываемым от экватора) и долготой (положением линии север-юг). Точка А имеет x° з. д., y° ю.ш.; точка В - х'° в. д., у'° с. ш. Сферическая тригонометрия таких треугольников, как РАВ, дает мореплавателю расстояние АВ и курсовой угол А. Астрономы определяют положение звезд при помощи таких сферических небесных треугольников, как 𝝿αβ.

Углы в пучке радиоволн

Во многих электронных приборах частотные компоненты колебаний описываются тригонометрическими функциями. Например, радиопередатчик с амплитудной модуляцией должен воспринять синусоидальное звуковое колебание А (например, ноту с частотой 440 Гц) и каким-то образом «привязать» ее к синусоидальной несущей радиоволне С, передаваемой с частотой, например, 1 млн. Гц (1 МГц). Это достигается умножением входного напряжения (звукового сигнала) в каждый момент времени на напряжение несущего сигнала в тот же момент времени, и результирующий сигнал передается в эфир. Но из тригонометрии известно, что sin А · sin С = ¹/₂ [cos (A - С) - cos (А + С)]. Так как А и С - фазовые углы звукового сигнала и несущего сигнала, результирующие сигналы имеют форму двух косинусоидальных волн с частотами (1 000000 - 400) Гц и (1000000 +400) Гц и амплитудой вдвое меньшей, чем у исходных сигналов.

Расщепление несущего сигнала на два близких боковых сигнала (полосы) называется амплитудной модуляцией. Обычно в передаваемом сигнале имеется много пар таких боковых полос, положение и амплитуда которых непрерывно изменяются с изменением синусоидальных составляющих звукового сигнала. В приемнике звуковой сигнал восстанавливается (процесс, обратный модуляции, называется демодуляцией). Может показаться невероятным, что математическую формулу, впервые доказанную для неподвижного треугольника на листке бумаги, можно смело применять к воображаемым вращающимся углам электрического сигнала.

Когда вращающийся радиус описывает все возрастающий угол, синус этого угла изменяется циклически: его значения периодически повторяются на каждом обороте в 360" В окружности единичного радиуса значение синуса совпадает с высотой конца радиуса над горизонталью. Здесь показаны синусоидальные волны. Частота - это число оборотов радиуса за 1 с. При сложении двух синусоид возникает сложное колебание: например, синусоиды 1 и 2 дают колебание 3. Его можно рассматривать как изменение громкости двух одновременно звучащих нот.

Колебания можно составлять из синусоид и разлагать на синусоиды. На диаграмме показано распределение амплитуд (интенсивностей) по спектру колебаний рис. 5. Спектр колебания 1 содержит только одну компоненту с частотой f. Единственная компонента колебания 2 имеет частоту 2f, но интенсивность ее меньше. В спектре колебания 3 представлены обе линии.

В спектре частот сложного сигнала, поступающего на антенну радиоприемника, имеется множество компонент. Каждый пик соответствует радиовещанию на определенной частоте. Одни станции слышны плохо, другие хорошо. При настройке приемника узкая полоса отбираемых частот перемещается вдоль шкалы, позволяя найти нужную радиостанцию. В результате декодирования сигнала мы слышим звук.

Изогнутая стальная полоса (А) принимает форму не синусоиды, а более сложной кривой, соответствующей сумме синусоид. Вдоль полоски направление ее элементов изменяется от точки к точке по синусоиде. При этом энергия изгиба минимальна. Такая же кривая возникает, когда равнинная река (Б) прокладывает себе путь к морю: вода стремится двигаться по линии наименьшего сопротивления.

Квадрант был первым инструментом, которым астрономы измеряли высоту небесных тел над горизонтом. Геодезический квадрант предназначен для геодезических съемок и артиллерийской стрельбы. Этот экземпляр квадранта изготовлен в 1674 г. Якобом Лузуэргом из Рима. Он обладает замечательной особенностью - шкалой Верньера, изобретенной в 1631 г. Пьером Верньером для измерения углов с точностью до 1/60°. Это нижняя дугообразная шкала, соединяющая две ножки V-образной части квадранта, которая может поворачиваться и скользить над неподвижной пластиной. На другой шкале нанесены тангенсы измеряемых углов.