15. Поверхности и объемы: стереометрия

В 1826 г. немецкий астроном Генрих Ольберс задался, казалось бы, нелепым вопросом: почему ночью небо темное? (Подчас такие «нелепые» вопросы оказываются весьма глубокими.) Чтобы ответить на него, Ольберс воспользовался стереометрией. Он предположил, что Вселенная разделена концентрическими Земле сферами на бесконечно много оболочек наподобие некой бесконечной «луковицы» и звезды распределены в ней более или менее равномерно. По формулам стереометрии Ольберс вычислил, что оболочка, удаленная вдвое дальше другой, содержит в 4 раза больше звезд, но лишь четвертая часть испускаемого ими света достигает Земли. Таким образом, каждая оболочка вносит в свечение ночного неба одинаковый вклад, независимо от того, как далеко она находится. Поскольку число оболочек бесконечно велико, ночное небо должно быть бесконечно ярким или во всяком случае не уступать по яркости поверхности Солнца.

Почему же оно все-таки темное? Даже сегодня астрономы расходятся во мнениях относительно строения Вселенной. Возможно, она обладает конечной протяженностью в пространстве и вмещает лишь ограниченное число оболочек; может, она ограничена во времени, и тогда свет от самых далеких оболочек еще не достиг нас, а если она расширяется, то свет от далеких оболочек оказывается ослабленным. Парадокс Ольберса и поныне остается выдающимся примером того, как элементарными математическими средствами из непротиворечивых посылок можно вывести удивительные заключения.

Определение размеров

Математикам и инженерам приходится вычислять площади поверхностей и объемы различных тел. Если тело имеет плоские грани, то плошадь его поверхности равна сумме площадей его граней. Площадь поверхности сферы в 4 раза больше площади круга того же радиуса. Объем куба равен кубу длины ребра, а объем сферы в 4π/3 больше объема куба с ребром, равным радиусу сферы.

Вычисление объемов и площадей боковых поверхностей пирамид, призм, цилиндров и эллипсоидов - задача более сложная, но стереометрия (геометрия трехмерного пространства) позволяет решить и ее. Боковые поверхности некоторых из этих тел (цилиндра, призмы, пирамиды и конуса) можно развернуть на плоскость, а других (сферы, эллипсоида) - нельзя. Чтобы найти путь, который проходит шлифовальный круг, прежде чем из металлической заготовки получится деталь нужной формы, определить, сколько грунта требуется на отсыпку железнодорожной насыпи заданной высоты и т.д., инженерам нужна стереометрия.

Силовые линии

Стереометрия занимается изучением не только форм тел, но и пронизывающих тела невидимых сил и напряжений. Центр тяжести цилиндра расположен посредине его. Если цилиндр поставить на основание и начать наклонять, то он не упадет до тех пор, пока хоть какая-то точка верхнего основания будет находиться на одной вертикали с какой-нибудь точкой нижнего основания. Центр конуса расположен над основанием на расстоянии, равном ¹/₄ высоты. Конус можно наклонять до тех пор. пока его вершина не сместится в одну сторону на расстояние в 1,5 раза большее, чем верхняя точка ребра основания в другую сторону.

Все грани, ребра и углы правильных многогранников равны, как равны стороны и углы правильных треугольника, пятиугольника или квадрата. Евклид доказал, что существует только 5 правильных тел, ограненных одинаковыми правильными многоугольниками: тетраэдр (А), куб (Б), октаэдр (В), додекаэдр (Г- 12 граней) и икосаэдр (Д - 20 граней). В природе подобные формы имеют кристаллы и вирусы.

Поскольку свет распространяется прямолинейно, явление перспективы в природе подчиняется правилам стереометрии. Законы перспективы определяют построение изображения в плоскости, помещенной между глазом наблюдателя и натурой: каждая точка натуры соединяется прямой с глазом наблюдателя, и там, где прямая пересекает плоскость картины, получается изображение соответствующей точки натуры. Такой видит натуру наблюдатель.

Для всех многогранников с плоскими гранями, не имеющих сквозных отверстий, справедлива теорема Эйлера: V + F = Е + 2, где V - число вершин, F - число граней, F- число ребер. Для тетраэдра (А): 4 + 4 = 6 + 2, для октаэдра (Б): 6 + 8 = 12 + 2. Теорема верна и для неправильных многогранников (В и Г), так как форма и размеры тел несущественны.

Изображение (натуры на рис 2), построенное с учетом перспективы, имеет центральную точку, где «сходятся» все параллельные линии, перпендикулярные плоскости картины. Другие юризонтальные линии (например, ребра коробки) сходятся на картине в других точках горизонта. Круглый диск в таком изображении искажается, если луч зрения не проходит через его центр, но обычно такие искажения малы.

У однородных мноюгранников грани могут иметь форму нескольких неправильных многоугольников. Существует 13 архимедовых тел, не считая множества простых призм, у которых верхнее и нижнее основания имеют форму любого правильного многоугольника, а боковые грани - форму квадрата. Если допустить пересечение граней, то возникают еще 53 формы многогранников. Один из них - битригональный додекаэдр.

Аналогичные рассуждения позволяют установить, какой формы должна быть дамба, чтобы противостоять напору воды, определить положение ватерлинии при постройке судна и крен при неравномерной загрузке трюмов, величину груза, способного опрокинуть подъемный кран, и т.д.

Еще более тонкие вопросы связаны с силами более сложными, чем сила тяжести. Какое давление выдержит газовый цилиндр с закругленными концами и в каком месте при перегрузке произойдет поломка? (В точке, находящейся на равных расстояниях от концов цилиндра.) Каким должен быть начальный профиль крыла, чтобы под действием подъемной силы, тяги, силы тяжести и сопротивления воздуха он принял нужную форму и напряжения в крыле не достигли опасного предела? Чтобы решить эти задачи, инженеры проводят измерения на моделях, а затем пересчитывают полученные результаты и переносят их с помощью стереометрии на натуру.

В некоторых системах геометрия внутренних сил может стать видимой. Костная ткань или деревья, которые растут, преодолевая сопротивление силы тяжести, показывают нам, как распределена эта сила, своей формой - идеальной формой, позволяющей выдерживать нагрузку.

Структура молекул

Геометрия молекулярных структур играет важную роль в современной химии. От геометрии молекул зависит не только их упаковка в кристалле, но и реакционная способность вещества. Последняя весьма существенна для понимания ферментов-мощных биологических катализаторов, вызывающих реакции, которые химики зачастую не могут воспроизвести в лаборатории. Фермент-гигантская молекула со сложной активной поверхностью. Молекулы реагента, «зацепляясь» с молекулой фермента, удерживаются в соответствующем положении и вступают в реакцию, после чего геометрия всей конфигурации изменяется и молекулы «отцепляются». Освободившееся место занимают новые молекулы реагентов-реакция продолжается. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, состоящей из двух сцепленных половинок. Действие сложнейшего механизма-человеческого тела-зависит от стереометрии субмикроскопических катализаторов жизни.

В технике часто встречаются детали очень изящной формы. Этот ротор желонки представляет собой стопку дисков, центры которых располагаются по винтовой линии вокруг центральной оси ротора.

Строгого математического решения проблемы о построении минимальной поверхности, натянутой на произвольно заданный контур, не существует. Мыльная пленка «решает» задачу для любой замкнутой линии: под действием сил поверхностного натяжения она принимает форму с минимальной площадью. На снимке вы видите изящно изогнутую мыльную пленку, натянутую на трехлопастную петлю из медной проволоки.

Оптические части инфракрасного спектрометра спроектированы с учетом законов геометрической оптики. Большое зеркало прямоугольной формы изогнуто в виде эллипсоида. Слева на него падает расходящийся пучок инфракрасных лучей, который при отражении фокусируется на детекторе излучения (трубка перед зеркалом). Другое зеркало (часть его видна в левом нижнем углу снимка) имеет сферическую поверхность и определяет направление инфракрасных лучей в начале их пути через спектрометр. Всего в приборе насчитывается около 20 отражающих поверхностей.

Чтобы при заданной площади жестяного листа объем консервной банки был максимальным, ее высота должна равняться диамегру. Высота стандартной консервной банки Г (425 г) в 1,4 раза больше ее диаметра. Практически это оптимальная форма. Банки А, Б с моющими средствами шире оптимальных, что позволяет легче извлекать их содержимое. Банки В, Д с аэрозолями более узкие, благодаря чему они лучше противостоят внутреннему давлению.

При заданном объеме минимальной площадью поверхности обладает сфера. (Мыльный пузырь в свободном пространстве принимает форму сферы.) Сферическая оболочка оказывает наибольшее сопротивление внутреннему давлению. Сферические емкости применяются для хранения жидкостей и газов под давлением и при низких температурах, так как при минимальной поверхности приток тепла извне сводится к минимуму.

Ключ. Смесь магнитной и немагнитной прозрачной жидкостей в магнитном поле. Каждая частица магнитной жидкости отталкивает другие ее частицы, и жидкость стремится раздробиться на мелкие порции. Но поскольку всякое деление сопряжено с затратами энергии, жидкость «идет на компромисс» - в результате возникает такая картина.