13. Линии и поверхности: геометрия

Представьте на миг, что ООН решила опоясать земной шар по экватору стальной лентой, символизирующей единство наций. Какой зазор останется между лентой и земным шаром, если лента окажется на 0.0000001 длиннее, чем следует (т.е. ошибка составит 4 м при общей длине 40075 км)? Ответ: 63,7 см.

Линии и поверхности за работой

Это лишь один пример простой геометрии - математики форм и размеров. Поскольку все тела имеют размеры и форму, геометрия - одна из наиболее практических областей математики. Если требуется узнать, какой толщины должен быть вращающийся вал, чтобы он мог передать определенное количество энергии, каким должен быть профиль судового винта или даже сколько обоев пойдет на оклейку комнаты, то на помощь приходит геометрия. Эта наука возникла, когда древним египтянам понадобились надежные способы восстановления границ земельных наделов, сносимых при каждом разливе Нила.

Греки восприняли геометрические познания египтян и на их основе создали величественное здание науки. «Начала» Евклида (около 300 г. до н.э.) содержали изложение полной системы взаимосвязанных доказательств, выводимых из нескольких основных аксиом. «То, что недоказуемо, неизвестно» - таков был лозунг Евклида. После него математики занялись (и продолжают заниматься поныне) уточнением основных аксиом и доказательством или опровержением выводимых из них утверждений.

Инженер-практик редко интересуется доказательствами. Обычно он просто берет готовые математические формулы и применяет их. Действие многих механизмов основано на теоремах планиметрии. Пишущую машинку, пантограф электровоза, рессоры автомобиля, узлы швейной машины или автомат для смены граммпластинок в проигрывателе можно рассматривать как действующие «модели» геометрических теорем.

Некоторые машины, например вязальная или печатная, работают, как по волшебству, - столь сложные движения совершают их узлы, спроектированные на основании геометрических теорем. В жестких конструкциях использован тот факт, что треугольник - единственная жесткая фигура на плоскости. Треугольник. составленный из шарнирно скрепленных в вершинах стержней, не деформируется, тогда как. скажем, квадрат переходит в ромб. Именно поэтому решетчатые конструкции обычно состоят из треугольников (например, любой большой мост с решетчатыми фермами или геодезический купол).

Число 𝝿 в небе и повсюду

Окружность - простейшая геометрическая фигура, но она обладает богатым математическим содержанием. Древним грекам удалось доказать, что длина окружности равна 2𝝿r, а площадь круга - 𝝿r². где r - радиус, 𝝿 - число, заключенное между 3 ¹/₇ и 3 ¹⁰/₇₁, которое нельзя представить в виде дроби с целыми числителем и знаменателем. В десятичной записи 𝝿 = 3,1415926535 ... . Среди цифр, стоящих после запятой, не существует повторяющихся групп. Число 𝝿 - фундаментальная постоянная тригонометрии, возникшей из задач составления звездных карт и играющей ныне важную роль в астрономии, навигации, геодезии, землемерных работах и т.д. Так, число 𝝿 «сбежало» из геометрии и проникло повсюду.

Некоторые наиболее сложные теоремы геометрии окружности применяются при разработке оптических систем. Сечення почти всех линз - для фотоаппаратов. очков. телескопов и т.д. - ограничены дугами окружностей. Проследить ход световых лучей через многолинзовую оптическую систему-сложная геометрическая задача. Сегодня она решается на ЭВМ, которая рассчитывает характеристики многих оптических систем и отбирает ту, что обладает наименьшими аберрациями. Идеальных систем не бывает, и конструкторы выбирают наилучший вариант, учитывая при этом практические трудности шлифования линз.

Со знаменитой теоремой Пифагора дети знакомятся в школе. Она утверждает, что квадрат, построенный на гипотенузе, по площади равен сумме квадратов, построенных на катетах. Нижний квадрат (построенный на гипотенузе) разделен на 5 частей: четыре «уголка» составляют левый верхний квадрат, а квадрат в центре совпадает с правым верхним квадратом.

Электровоз должен всегда поддерживать контакт с проводом, который не везде строго горизонтален. Здесь помотает геометрия пантографа. Система пружин стремится сблизить точки P и Q и, поворачивая шарнирно закрепленные плечи А и В. сокращает расстояние ST. При деформации треугольника STC точка С следует за проводом. Когда плечо А поворачивается, тяга RQ заставляет плечо В nакже поворачиваться, сохраняя симметрию.

Древнегреческий ученый Эратосфен с помошью геометрии измерил длину окружности земного шара. Он обнаружил что, когда Солнце стоит в Сиенне над годовой, в Александрии оно отклоняется от вертикали на 7°. Зная расстояние между Сиенной и Александрией (около 800 км), Эратосфен заключил, что из центра Земли Солнце видно под утлом 7° и, следовательно, окружность земного шара равна 360 : 7 ⋅ 800 ≈ 41 140 км.

Молекулы слишком малы, чтобы их можно было видеть, поэтому химики, изучая строение молекул, используют геометрию. Молекула дихлорметана содержит один атом углерода, два атома водорода и два атома хлора. Если эти атомы располагаются в вершинах квадрата с атомом углерода в центре, то возможны две формы дихлорметана: с двумя соседними атомами хлора (А) и с двумя диагонально противоположными (Б). Но если атомы располагаются в вершинах тетраэдра с атомом углерода в центре, то возможна только одна форма лихлормегана (В). До сих пор удавалось получать только одну разновидность молекул дихлорметана, поэтому химики отказались от гипотезы о квадратных молекулах. Аналогичные соображения позволили установить конфигурацию тысяч молекул задолго до появления кристаллографии

Выложить пол одинаковыми плитками можно по-разному, например выбрав плитки в форме равносторонних треугольников (А), правильных шестиугольников (Б), квадратов или более сложной неправильной формы (В). Геометрия доказывает, что существует лишь 5 существенно различных способов выложить пол одинаковыми по форме и размерам плитками, хотя орнаменты при этом можно получить весьма пышные.

Геометрия га пределами интуиции

Евклидова геометрия исходит из ряда интуитивных представлений, принятых за очевидные. Прямую Евклид рассматривал как линию нулевой кривизны, кратчайшую линию между двумя точками. В практических делах, например при визировании, мы исходим из предположения, что световые лучи распространяются вдоль прямых. Но физик вправе усомниться в этом. Он полагает, что световой сигнал, посланный с Земли, может «обогнуть» Вселенную и вернуться в исходную точку, подобно тому как путешественник возвращается назад после кругосветного путешествия, хотя он уверен. что двигался все время «по прямой». Современная космология - наука о Вселенной как едином целом - отдает предпочтение модели замкнутой искривленной Вселенной с конечным объемом, но не имеющей границ, подобно тому как земная поверхность имеет конечную площадь, но не имеет краев.

Математики считают евклидову геометрию лишь одной из многих мыслимых геометрий, каждая из которых справедлива в пространстве определенной кривизны. Кривизна пространства на доступных нам малых расстояниях очень мала, поэтому евклидова геометрия работает здесь достаточно хорошо (так и при картографировании небольших участков земной поверхности последнюю без особой погрешности можно считать плоской).

В конструкции воздушного компрессора использована геометрия взаимосвязанных циклоид. Утолщения на концах «лопасти» имеют форму кривой, описываемой точкой на малой окружности 1, а сужения в средней части лопасти - форму кривых, описываемых другой малой окружностью 2. Обе лопасти «сцеплены», как шестерни с двумя зубьями Касаясь друг друга и стенок кожуха, они захватывают все новые объемы воздуха и, поворачиваясь, сжимают их.

Эта модель первого парового двигателя Фелтона и Мюррея геометрическая теорема в действии. Внутренняя шестерня катится по неподвижной наружной шестерне. Одна точка на ободе внутренней шестерни совершает при этом возвратно-поступательное движение вдоль прямой. В этой точке прикреплен шток поршня, приводимого в движение силой пара в цилиндре. Через кривошип, прикрепленный к центру подвижной шестерни, двигатель приводит в движение другие машины.

Принцип двойственности в геометрии утверждает, что любые две прямые определяют точку (их пересечения), а любые две точки - прямую (проходящую через них). Если 6 точек A, B ...., F лежат на эллипсе, то определяемые ими прямые образуют 3 пары, точки пересечения которых G. H. I лежат на одной прямой. И наоборот: если 6 прямых касаются эллипса, то точки их пересечения J, K, ...., О образуют 3 пары, определяющие прямые, которые пересекаются в одной точке P. Таким образом, точки и прямые «двойственны»

К числу четырехугольников относятся квадрат (А) - все углы его прямые, стороны равны, а противоположные стороны параллельны, прямоугольник (В) равны и паралельны противоположные стороны, трапеция (В) - параллельны только две противоположные стороны, ромб (Г) и параллелограмм (Д) - у них противоположные стороны паралельны, но углы не прямые.

Евклидова геометрия (А) отнюдь не единственная. Возможно, что реальное пространство обладает иной геометрией. В геометрии Лобачевского, как в геометрии на воронкообразной поверхности (Б), сумма углов треугольника всегда меньше 180°. В геометрии Римана, как в геометрии на поверхности сферы (В), сумма углов треугольника всегда больше 180°. Распространенная на трехмерный случай, эта геомегрия дает геометрию искривленною пространства.

Ключ. Геодезический купол - жесткая конструкция из треугольников, сочетающая в себе легкость и прочность