12. Как найти изменяющиеся величины: математический анализ

Основное понятие математического анализа производная (скорость изменения функции). Оно стало играть заметную роль в физике с 1634 г., когда Галилей пришел к выводу, что тело, брошенное свободно или с начальной скоростью, движется вертикально вниз с равномерно возрастающей скоростью, т.е. скорость изменения вертикальной составляющей скорости постоянна. Какова траектория падающего тела? Исчерпывающий ответ на этот вопрос дали Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. Они создали необходимый инструмент для решения проблемы - математический анализ.

По Ньютону, скорость - изменение положения тела со временем (например, 60 км/ч). Ускорение - скорость изменения скорости. Автомобиль, разгоняющийся с места до скорости 60 км/ч за 3 с, обладает ускорением 20 км/ч за 1 с. По Галилею, ускорение свободно падающего тела постоянно. Методы математического анализа позволяют вычислять скорость по ускорению и положение по скорости. т.е. полностью решать задачу о движении тел. Операция, посредством которой скорость находится по известной зависимости положения тела от времени, называется дифференцированием. Обратная операция называется интегрированием.

Удобство обозначений

Математика - это своего рода механизм, позволяющий производить операции над символами и делать выводы почти автоматически, - все необходимое заключено в символике. Например, деление «углом» позволяет найти частное от деления 431,613 на 357 автоматически при помощи нескольких правил. При этом не обязательно знать, почему можно так делить и что означает деление. Математический анализ представляет собой, по-видимому, наиболее яркий пример символики, позволяющей одним «росчерком пера» решать чрезвычайно сложные задачи.

Методы математического анализа широко используются в механике, для которой Ньютон и разработал анализ. Это прежде всего связано со вторым законом Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение. Отсюда, зная какие-либо две из этих величин, можно найти третью. Рассмотрим двигатель внутреннего сгорания. Каково ускорение поршня, когда кривошип проходит верхнюю мертвую точку? Математический анализ позволяет решить эту задачу: если масса поршня известна, то можно найти силу, с которой шток тянет его назад. Какая энергия подводится к поршню за рабочий такт и в какой момент следует производить зажигание смеси, чтобы энергия была максимальной? Без математического анализа эти и бесчисленное множество других задач механики нельзя было бы не только решить, но даже сформулировать.

Приложения к радиотехнике

Математический анализ находит применение в радиотехнике. Возьмем, например, резистор (ток через него пропорционален напряжению), конденсатор (ток через него пропорционален скорости изменения напряжения со временем) и катушку индуктивности (напряжение на которой пропорционально скорости изменения тока со временем). Соединим их и подключим к источнику переменного напряжения. Что произойдет? Математический анализ позволяет с легкостью свести эту головоломку к дифференциальному уравнению, решение которого, в частности, показывает, что на некоторых частотах схема «резонирует» и при малом напряжении через ее элементы могут протекать очень большие токи. Резонанс имеет первостепенное значение в радиотехнике. Настройка радиоприемника на нужную станцию возможна благодаря тому, что цепь приемника резонирует на частоте передатчика радиостанции.

Падающий молоток (А) снят в шести положениях с интервалом 0,03 с, и по фотографиям поороен график движения молотка (Б). Крутизна кривой изменяется от точки к точке. Измерить ее можно, строя в каждой точке касательный прямоугольный треугольник с единичным вертикальным катетом и подсчитывая длину горизонтального катета (В). Крутизна кривой 12 в точках 7-11 составляет соответственно 0 : 2, 1 : 2, 2 : 2, 3 : 2 и 4 : 2, или 0, 0,5, 1, 1,5 и 2. Изменение крутизны кривой 12 показывает кривая 13. (Построение кривой изменения крутизны называется дифференцированием, а переход от нее к исходной кривой -интегрированием.) Кривизна кривой движения (Б) за первую экспозицию определяется падением по вертикали на 2,8 см за 0,02 с; скорость молотка 2,8 : 0,02 - 140 см/с. Аналогичные измерения крутизны позволяют определить скорость в других точках и построить кривую изменения скорости, которая сначала убывает с расстоянием. Ускорение (скорость изменения скорости со временем) крутизна кривой изменения скорости -постоянно, пока молоток падает свободно. При экспозиции 3 молоток ударяется о шляпку гвоздя со скоростью 200 см с, и тут начинается самое интересное. За миллисекунду скорость молотка падает до 40 см/с В результате ускорение подскакивает до величины, более чем в 100 раз превышающей ускорение свободного падения. По закону Ньютона это означает, что на гвоздь действует сила, более чем в 100 раз превышающая вес молотка. На этом и основано действие молотка: резкое торможение его головки порождает большую силу. Когда дерево поддается под гвоздем, удар подбрасывает молоток вверх, после чего он вновь начинает свободно падать с равномерно возрастающей скоростью и постоянным ускорением.

Одно из плодотворных приложений математического анализа - отыскание максимумов и минимумов (экстремумов). Брошенный вертикально вверх мяч на мгновение останавливается, достигнув наивысшей точки, так как скорость изменения высоты со временем равна нулю, когда высота максимальна. Найти ее можно, если зависимость высоты от времени продифференцировать по времени и положить результат равным нулю. Это обшее правило очень важно, так как поиск оптимальных решений - основное направление развития современной технологии.

Какова, например, оптимальная скорость для автотуриста? Ехать медленно-напрасно терять время, ехать быстро-чрезмерно расходовать горючее. Во сколько обходятся потеря времени и перерасход горючего, можно оценить. Математический анализ позволяет найти скорость изменения всех затрат и определить, при какой скорости движения она обращается в нуль. Это и есть оптимальная скорость. Аналогичные вычисления производят при определении оптимальных режимов работы судов и самолетов. На тех же принципах основано оптимальное проектирование и определение оптимальных скоростей расхода жидкости или рабочих температур почти любой промышленной системы.

Универсальный принцип

Многие физические законы воплощают в себе один и тот же принцип. Например, свет проходит сквозь оптическую систему по тому из всех возможных путей, на которое затрачивается наименьшее время. Из этого принципа можно вывести всю классическую оптику. В свое время Лейбниц провозгласил, что Вселенная построена по принципу самооптимизации и наш мир-лучший из возможных миров. Но с тем же основанием Лейбниц мог бы утверждать, что наш мир-худший из миров.

Математический анализ позволяет разобраться в сути газетного сообщения: «Правительство принимает все меры против увеличения цен. Скорость роста инфляции падает». Предположим, кривая 1 описывает скорость роста инфляции. Тогда инфляция описывается кривой 2 - интегралом от кривой 1. Скорость изменения кривой 2 в каждой точке пропорциональна высоте кривой 1 в этой точке. Поэтому две касательные, проведенные к кривой 2 наклонены одинаково. Инфляция - это скорость роста цен. поэтому кривая 3 изменения цен - интеграл от кривой 2. Нетрудно видеть, что цены будут расти.

На языке математического анализа остойчивость плавающих предметов означает положительную скорость pocтa (т. е. увеличение) энергии при отклонении от вертикали. Если объем балластной жидкости превышает критический, то цилиндрическая пробирка 1 плавает вертикально. В пробирках 2 и 3 балласта недостаточно.

Башни можно строить, поднимая мощными домкратами уже смонтированную част и подводя под нее нижнюю секцию, достаточно прочную и тяжелую. Каждая новая секция, устанавливаемая снизу, должна быть больше предыдущей. Скорость, с которой возрастают размеры секций, также возрастает. Такой тип роста (когда скорость pocтa увеличивается пропорционально росту) наэывается «экспоненциальным» (А). Эйфелева башня (В) имеет почти экспоненциальную форму.

Кривизна балки зависит от нагрузки. Изгиб защемленной полоски в каждой точке определяется весом ее участка от этой точки до свободного конца. Методы математического анализа позволяют суммировать все переменные кривизны и определять конечную форму таких балок. Эти полоски из пластика имеют различную толщину, а их прогиб в очень грубом приближении обратно пропорционален квадрату толщины. Балки не изгибаются столь сильно, но в основе их расчета лежат те же принципы.

Оптимизация затрат на теплоизоляцию труб (А). Уменьшение потерь тепла 1кривая E на светло-голубом фоне) требует более высоких капитальных затрат С. Сумма этих затрат достигает минимума в точке M1. Увеличение диаметра труб снижает расходы на перекачку жидкостей и газов (кривая E на темно-голубом фоне», но повышает капитальные затраты. Сумма этих затрет минимальна в точке МD. Минимум всех заnрат достигается в точке X (М1¹. МD¹). При строительстве химического завода (Б) приходится минимизировать затраты по сотням показателей.

Ключ. Первым трансформатором было «якорное кольцо» Фарадея. Оно позволило открыть закон, утверждающий, что напряжение на выходной обмотке зависит от скорости изменения напряжения на входной обмотке.