Предыдущий урок:
Первый урок:
О пределах мы говорили на уроках:
А сегодня рассмотрим парочку примеров с пределами. И так, поехали.
Пример 1.
Вычислить предел:
Решение:
Данный предел есть неопределенность 0/0. Мы можем попытаться избавиться от этой неопределенности, разложив числитель на множители. Существует 5 способов разложения многочлена на множители:
1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. Формул сокращенного умножения.
3. Метод группировки.
4. Выделение полного квадрата.
5. Разложение квадратного трехчлена на множители.
Из перечисленных методов мы можем применить формулы сокращенного умножения, вот они:
Нам подходит формула:
Тогда
Проверим, построив график в Excel:
Как видим, решено правильно.
Пример 2.
Вычислить предел:
Решение.
Как в числителе, так и в знаменателе многочлен при x=5 обращается в нуль. Следовательно, согласно теореме Безу, каждый из них должен делиться на x-5.
Звучит эта теорема так: остаток от деления многочлена P(x)P(x) на двучлен (x-a) (x−a) равен P(a)P(a). Доказывается следующим образом: пусть P(x)=(x-a)Q(x)+R(x), где R(x) остаток от деления многочлена P(x) на (x-a). Степень остатка меньше степени делителя, то есть, deg R(x)<deg(x-a)<1. То есть, степень R(x) не выше 0, то есть, это константа. Обозначим эту константу r, тогда, если подставить x=a, получим (a-a)Q(a)=0, откуда P(a)=R(x)=r=0.
Теперь применим эту теорему к решению нашего предела. Нам нужно разделить числитель и знаменатель на x-5, чтобы разложить их на множители.
Разделим числитель:
Проверим умножением:
Разделили правильно.
Теперь разделим знаменатель:
Выполним проверку:
Как видим, деление выполнено верно.
Теперь просто решаем предел:
Проверим, построив график:
Как видим, тут тоже решено правильно