В первой части предыдущей статьи ваш лунный гид слегка углубился в геометрию и рассказал, почему при повороте фотоаппарата размер предмета в кадре меняется и почему это подводит лунных конспирологов. Он сел уже писать вторую часть, но быстро понял: или вторая часть будет бесконечно длинной, или некоторые детали придётся рассказать отдельно. Автор выбрал последний вариант — и вот он, наш рассказ.
Дисклеймер: опасность! Здесь водится сферическая тригонометрия!
...Начнём мы его с нашего собственного разоблачения, и разоблачать мы будем Apollo Lunar Surface Journal (ALSJ) — замечательный проект, который лунные конспирологи не обходят стороной и часто называют информацию из него официальными данными НАСА. Несмотря на то, что НАСА предоставляет домену хостинг, ALSJ — это любительский сайт, который НАСА не финансирует, не наполняет содержанием и не редактирует (а как бы этого хотелось!). Как и во всяком любительском проекте, его поддержкой целиком занимаются любители и редакторы, которые тоже не работают в НАСА. Ваш покорный слуга знает об этом не по наслышке, потому что активно с проектом сотрудничал, написав совместно с его редактором Эриком Джонсом статью с фотограмметрическим исследованием места посадки «Аполлона-11» и предоставив ещё некоторое количество материалов. Но как ни прекрасен ALSJ, и на Солнце бывают пятна: из-за любительского статуса проекта в нём неизбежны ошибки, порой грубые, которые сохраняются годами. В упомянутой статье вашего лунного гида без них тоже не обошлось, и исправления, увы, не будут скорыми.
Разоблачать мы будем страницу Apollo Lunar Surface Journal, где указано, будто угловое расстояние между крестами на фотографиях равно 10,3°. Эта цифра за 20 лет существования страницы использовалась разными авторами много раз и стала основой разнообразных недоразумений. Вот, например, человека смущает, что Земля оказывается слишком большой, когда он использовал значение из ALSJ:
The crosses are 10.3 degrees apart (with the 60 mm lens - I looked that up rather than working it out). That gives the Earth as being 2.5 degrees - actually larger than expected (2 degrees)
К сожалению, величина 10,3° — одна из очевидных ошибок на сайте ALSJ. В первой части мы уже видели, что равным угловым расстояниям между точками предмета соответствуют разные линейные расстояния на изображении. Разумеется, верно и обратное: равным линейным расстояниям на изображении (на снимках «Хассельблада» расстояние между соседними крестами равно точно 10 мм) соответствуют разные угловые расстояния на изображении. Это значит, что цифра 10,3° не может быть универсально верной. Давайте же ещё раз посмотрим на дополненный рисунок из первой части и посчитаем сами, какое это расстояние на самом деле.
Обозначим буквой f фокусное расстояние объектива — расстояние от его фокуса F до центра изображения, обозначенного на лунных снимках большим крестом (на нашем рисунке это точка 5). Пусть точка 6' лежит на расстоянии x от центра изображения. Очевидно, что угловое расстояние точки объекта 6 от центра равно
Также очевидно, что, ввиду нелинейности арктангенса, угол α зависит от расстояния x нелинейно.
...Здесь нам понадобится небольшое отступление, касающееся фокусного расстояния. Казалось бы, что может быть проще? Ведь всем известно, что на Луне астронавты снимали объективом Zeiss Biogon f/5.6-60, фокусное расстояние которого, конечно же, 60 мм.
Или всё-таки не 60 мм? Всё-таки нет, не совсм 60 мм. В действительности настоящее фокусное расстояние равно 61,1 мм (аналогично фокусное расстояние Zeiss Planar f/2.8-80, которым снимали из окон лунного модуля, на самом деле равно не 80 мм, а 81,5 мм, а Zeiss Sonnar f/5.6-250, которыми астронавты снимали дальшие планы в последних трёх экспедициях — не 250 мм, а 248,4 мм). Но и это ещё не всё! Фокусное расстояние объектива равно 61,1 мм лишь тогда, когда он сфокусирован на бесконечность. Если фотоаппарат сфокусирован на расстояние d, то его фокусное расстояние определяется следующей формулой:
Здесь f₀ — фокусное расстояние при фокусировке в бесконечность, для большинства лунных снимков это те самые 61,1 мм. Но как же узнать, на какую дистанцию был сфокусирован фотоаппарат? Лунные фотоаппараты могли быть сфокусированы на расстояние от 35 дюймов (около 90 см) до бесконечности, но при этом имелись четыре фиксированные положения, в которые фокусировка переводилась со «щелчком»: 5,3 фута (1,62 м), 15 футов (4,57 м), 74 фута (22,56 м) и бесконечность (в последних трёх экспедициях бесконечность убрали, а остальные дистанции немного изменили). Астронавты могли сфокусироваться на любое расстояние, но практически всегда пользовались тремя названными дальностями: самая малая использовалась для съёмки с близкого расстояния, вторая со среднего и третья для съёмки общих планов. Если воспользоваться формулой, мы получим, что фокусное расстояние камеры было при разных фокусировках 63,49 мм, 61,93 мм и 61,27 мм.
Но насколько важны ли эти миллиметры и их доли? Оказывается, важны. Поскольку расчёты, которые делает ваш лунный гид, обычно точнее 0,3°, то ему приходится следить даже этими долями миллиметров. К счастью, фокусировку обычно легко удаётся определить по снимку, рассматривая размытие деталей заднего плана: чем короче дистанция фокусировки, тем более размыт задний план.
А теперь вернёмся к расстоянию между крестами. Допустим, объектив сфокусирован на дистанцию 15 футов. Первый крест расположен на расстоянии 10 мм от центрального креста. Тогда по нашей формуле с арктангенсом получим arctg(10/61,93) =9,17°. Второй крест расположен вдвое дальше, поэтому его расстояние от центра arctg(20/61,93) = 17,90°, а от первого — 17,90° - 9,17° = 8,73°. Мы видим, что угловые расстояния между крестами уменьшаются по мере удаления от центра (а значит, объект одного и того же углового размера займёт больше места в кадре, когда он находится от центра дальше — в полном соответствии с тем, о чём мы уже говорили). Но обратим внимание: цифра 10,3° из ALSJ не достигается нигде! Даже если сфокусировать камеру на бесконечность, расстояние до первого креста возрастёт лишь до arctg(10/61,1) = 9,29°. Так что, мы поймали НАСА на том, что там не знают параметров лунного фотоаппарата? Увы, нет: мы поймали ALSJ на том, на чём можно поймать всякий любительский проект — когда работа делается на добровольных началах и не за деньги, то ошибки неизбежны.
Давайте же попробуем применить наши знания к чему-нибудь интересному! Например, оценим высоту Солнца на снимке AS12-46-6753, воспользовавшись тенью командира «Аполлона-12» Питера Конрада, который снял этот кадр. Разумеется, для расчётов можно воспользоваться авторским спредшитом, описанным в одной из ранних статей, но почему бы нам вместо тёмных алгоритмов не использовать ясную тригонометрию, легко доступную каждой кухарке?
Для удобства сначала повернём снимок, чтобы выпрямить горизонт.
Измерим на снимке разрешением 3900х3900 пикселей расстояние между крайними крестами слева и справа в среднем ряду (2592 пикселя) и поделим на 4 промежутка, а потом ещё на 10 миллиметров. Так мы найдём средний масштаб снимка: 73,8 пикселей на миллиметр. Наша первая задача — найти угол между горизонтом (точка A) и шлемом астронавта (точка C). Это можно сделать разными способами, мы воспользуемся тем, что не требует прямого измерения углов на снимке. Проведём горизонталь OB и измерим линейные расстояния от центрального креста OA (1737 пикселей), OB (1686 пикселей) и OC (1692 пикселя). Переведём их в угловую меру:
- OA =arctg([1737/73,8]/61,93) = 20,81°,
- OB = arctg([1686/73,8]/61,93) = 20,25°,
- OC = arctg([1692/73,8]/61,93) = 20,31°.
Не забудем, что всем этим плоским треугольникам на рисунке соответствуют сферические треугольники в пространстве объектов. Так как углы OBA и OBC прямые, то углы BA и BC на сфере находим по известной формуле сферической тригонометрии:
- cos BA = cos OA/cos OB, откуда BA = arccos[cos(20,81°)/cos(20,25°)] = 4,9°.
- cos BC = cos OC/cos OB, откуда BC = arccos[cos(20,31°)/cos(20,25°)] = 1,6°.
Следовательно, угол от шлема до горизонта равен AC = 4,9° + 1,6° = 6,5°.
Кстати, так как пиксельное расстояние AC = 558 пикселей, то этот угол соответствует масштабу 6,5°/(558/738) = 8,6°/10 мм. Существенно меньше цифры 10,3° из ALSJ, не так ли? И заметно меньше угла 9,17° между центральным и первым крестом: чем дальше от центра, тем меньше угловой масштаб, как радиальный, так и трансверсальный, простите за выражение.
Сделаем далее несколько предположений.
- Будем считать, что поверхность перед Конрадом достаточно плоская (в действительности перед ним очень пологий подъём, но его уклон не превышает градуса);
- примем высоту астронавта в скафандре за 1,9 метров (примерно столько мы получали в точных расчётах), а высоту камеры за 1,5 метра (это примерно соответствует средней высоте камеры над грунтом, которые мы получали в наших моделях);
- посчитаем, что видимая линия горизонта почти совпадает с истинным горизонтом (для снимков «Аполлона-12» в восточном направлении это верно с хорошей точностью).
Теперь вычисление высоты Солнца тривиально (см. рисунок).
Длину тени можно найти как 1,5/sin(6,5) = 13,3 м. Добавим к ней сантиметров 20, чтобы учесть, что плоскость плёнки находится слегка впереди той точки шлема, что отбрасывает тень. Тогда возвышение Солнца можно оценить как arctg(1,9/13,5) = 8,0°. Конечно, это лишь приблизительная оценка, основанная на сделанных предположениях (не очень далёких от правды). Проверить результат проще всего по знакомому нам калькулятору эфемерид JPL HORIZONS. В момент, когда был сделан снимок AS12-46-6753, то есть 19 ноября 1969 года около 12:50 GMT, высота Солнца в точке посадки «Аполлона-12» была такой (крайний правый стоблец Elev):
Как ни удивительно, наш результат почти точно совпал с действительной высотой Солнца! Разумеется, это совпадение в значительной мере было случайным, так как погрешности, связанные с нашими предположениями, могут превышать половину градуса. Но нам повезло, погрешности в основном скомпенсировали друг друга. Заодно мы убедились, что мастера Голливуда знали своё дело, вешая прожектор в киностудии.
Какой же был бы результат, если бы мы приняли угловое расстояние между крестами за постоянную величину 10,3°? При расстоянии 558 пикселей между точками AC на снимке AS12-46-6753 и средним расстоянием между крестами 738 пикселей мы получили бы угол между тенью и горизонтом (558/738)*10,3 = 7,8° вместо 6,5°, длину тени 1,5/sin(7,8) = 11,1 м и возвышение Солнца arctg(1,9/11,1) = 9,7°. Вот это было бы уже достаточно заметной ошибкой, которую объяснить погрешностями было бы не так легко.
Пожалуй, на этом можно остановиться. Мы и так сделали довольно много: разоблачили ALSJ, узнали некоторые вещи о фокусном расстоянии лунных фотоаппаратов, научились считать углы по снимкам подручными методами, ещё раз убедились в мастерстве Кубрика... К теме того, как отсутствие всех этих умений подводит лунных конспирологов, мы непременно скоро вернёмся.
С вами геометрию вспоминал El Selenita.