В книгах по математике часто происходит какая-то магия. И речь сейчас не о том, что для гуманитариев любые научные опыты и факты являются магией. Речь о том, что несколько пропущенных действий в решении сложной задачи из высшей математики могут сыграть злую шутку с читателем, в результате чего читатель загрузится на несколько часов или потеряет надежду вообще хоть что-то понять.
Сегодня в нашем физ-мат чате в telegram Physics.Math.Code случилась как раз такая ситуация. Человек пришел с задачей из книги. Задача связана с решением дифференциального уравнения. Но в конце решение «странно» разделяется на линейную и нелинейную части. В итоге я попытался накидать несколько мыслей по поводу этой задачи в своём telegram-блоге IT mentor. А потом думаю, что нужно и на Дзен поделиться.
📖 Давайте я прикреплю скриншот из книги для лучшего понимания.
Задача
❓ Один участник чата задал вопрос:
« Как мы так интеграл посчитали, что появилось условие конечности или бесконечности C₁ ? »
И ведь действительно, это неочевидное разделение решение ЕЩЕ НА ЭТАПЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ (!) Как же догадаться до такого? Верно ли это?
Здесь предел у меня вообще не посчитался адекватно. Получается ∞ inf вместо ожидаемого (чтобы сходилось с книгой) нуля. Даже если сворачивать логарифмы в один, чтобы взять предел по C₁. Не срабатывает.
Затем было решено построить график общего решения и посмотреть что будет при вариации константы C₂
Еще один способ: ориентироваться на другую переменную
Случай нулевого z считать не получается, потому что z = 3/(1 - C₁*exp(t)). Если t → -∞ , то бесконечная константа перед экспонентой в знаменателе не обнуляет z. Как же тогда быть? Каким образом при C₁ → ∞ у нас получается u = C₂ ?
Доказательство того, что прямая, которая асимптотически очень похожа на прямую, на самом деле имеет пик около нуля и НЕЛИНЕЙНОСТЬ. В книге ошибка. Или всё же нет? Линейная часть около нуля имеет четкую нелинейность при масштабировании графика конечной y(x) функции.
По сути да, решение общее есть. Но непонятно зачем в книге пытаются выделить линейную часть. Да, ОЧЕНЬ похоже. Но даже при C₁ = 10 000...1 000 000 не исчезает нелинейный пик около нуля. Видимо, автор книги немножко опечатался с частным случаем. Или мы не понимаем сути?
Давайте думать дальше...
Прямая проверка возможности линейного решения
Мы можем подставить y = C⋅x в самое начальное ДУ и решить вопрос окончательно:
Как мы только что увидели, прямая подстановка линейной функции y = C⋅x в исходное ДУ дает корректное тождество. Как же так получается, что не получается преобразовать логарифм?
Попытка подойти к скрытым преобразованием с помощью разложения логарифма
С учетом разложения логарифма в ряд Маклорена, можно получить другой предел. Но констант всё равно получается немного другая: не C₂ , а 3 + C₂.
❓ Правильно ли это? Напишите своё мнение в комментариях. 📝
Понравилась статья? Поставьте лайк, подпишитесь на канал, напишите комментарий! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Лучший канал для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в telegram