На гладкой поверхности находятся один на другом три бруска массой m каждый. Бруски взаимодействуют между собой благодаря нити, проходящей через систему двух неподвижных и одного подвижного блока и самого подвижного блока. Между брусками одинаковый коэффициент трения. Нижний брусок тянут с постоянной силой F. Какой минимальный коэффициент трения необходим, чтобы два верхних верхних бруска двигались, как единое целое?
Решил не дожидаться недели и написать часть решения.
Попробуем разобраться в работе данной системы. Сила F действует на нижний брусок, который, начиная двигаться, натягивает нить, создавая силу натяжения этой нити. Сила натяжения нити непосредственно воздействует и на верхний брусок без изменения модуля, т.к. это одна и та же нить. Но она же воздействует на подвижный блок в двух местах. Значит на средний брусок будет действовать удвоенная сила натяжения нити.
Разобьем всю эту сложную конструкцию на отдельные тела. Начнем с самого верхнего.
Укажем все силы, действующие на брусок и ускорение a.
T - сила натяжения нити;
Fтр1 - сила трения;
mg - сила тяжести;
N - реакция опоры.
Для описания проекций с учетом знаков используем оси, которые только условно изображают для того, чтобы показать положительные направления.
Составляем уравнения II закона Ньютона в проекциях на оси:
Из уравнения по оси y заключаем, что N1 = mg, тогда
Подставим в уравнение по оси x:
Пронумеруем это уравнение номером (1), чтобы к нему еще обращаться в процессе решения задачи. Переходим ко второму телу. Здесь все становится весьма интереснее.
По условию задачи верхний и средний брусок движутся с одинаковым ускорением a. Кроме того, эти бруски взаимодействуют друг с другом благодаря силе трения Fтр1. А из III закона Ньютона мы знаем, что тела взаимодействуют с силами равными по модулю, но противоположными по направлению. Если для верхнего бруска эта сила трения направлена влево, то для среднего она должна быть направлена в противоположную сторону - вправо. Именно она заставляет этот брусок двигаться с таким же ускорением, как и верхний брусок.
P1 - это вес верхнего бруска (напомню, что вес тела - это сила, с которой это тело действует на опору или подвес). Вес верхнего бруска влияет на реакцию опоры N2. От этой реакции опоры зависит сила трения Fтр2. Составим уравнение II закона Ньютона на оси:
Вес верхнего бруска P1 равен реакции опоры N1 этого бруска. А в первом уравнении было указано, что N1 = mg.
Из уравнения по y:
Теперь можем выразить силу трения Fтр2:
Подставим все в уравнение по x и получим уравнение с номером (2):
Посмотрите: из такого количества сил, которыми пестрит рисунок, получилось очень простое уравнение.
Переходим к нижнему бруску. В условии задачи указано, что все действо происходит на гладкой поверхности. Это значит, что трение между нижним бруском и этой поверхностью отсутствует.
Если отсутствует трение между бруском и поверхностью, то и нет надобности разбираться с уравнением по оси y. Однако, силы, которые действуют на тело, обозначаем. Обратим внимание на то, что сила F и ускорение тела a направлены против оси - их проекции отрицательны.
Домножим левую и правую часть уравнения на -1 и заменим Fтр2 на выражение, найденное для предыдущего уравнения:
Готовы уравнения для трех тел:
Вычтем из уравнения (3) уравнение (1):
Выразим удвоенную силу натяжения нити 2T:
Подставим полученное выражение в уравнение (2):
Как видите, мы избавились от силы натяжения нити. Но как же быть с ускорением? Его мы не знаем. Все три уравнения исчерпаны.
Значит, необходимо еще одно уравнение. Это уравнение для двух верхних брусков одновременно, ведь их можно представить, как единое тело, т.к. по условию они движутся вместе.
На эти два бруска действует уже суммарная сила натяжения нити 3T (T - на верхний и 2T - на средний). Составляем уравнение по оси x:
По оси y нет смысла писать уравнение, т.к. Fтр2 мы уже выражали.
Выше уже мы выводили, что
Тогда 3T будет в 1,5 раз больше:
Подставим это в наше выражение:
И так:
Домножим выражение (4) на 2:
Теперь его левая часть равна левой части нашего последнего выражения. Мы имеем право приравнять их правые части:
Все, задача решена.
Ответ:
Всего хорошего!
