Даже кошки, наверное, уже в курсе про разрезание вакуума горизонтом событий и квантовом эффектие излучения Хокинга. Я, как обычно, постараюсь подать тему чуть иначе.
Мы примем как данность, что в квантовом вакууме есть флуктуации и они в сильном неоднородном гравитационном поле могут порождать излучение подобное излучению абсолютно черного тела. И попробуем что-нибудь понять при помощи самых простых инструментов.
А именно, примем скорость света, постоянную Планка и постоянную Больцмана за единицу. Тогда у нас размерность длины и времени одна и та же. Энергия пропорциональная частоте, то есть обратно пропорциональна времени. Также она пропорциональна массе и температуре. В итоге, выбрав за единицу всего градус Кельвина, мы получаем следующее:
Температура, энергия, масса и частота измеряются в К, а длина и время - в 1/К.
Как я уже рассказывал, отсюда сразу следует закон излучения. Ведь плотность потока энергии, то есть энергия на единицу площади в секунду, измеряется в наших единицах в K⁴. А если задача харктеризуется одной лишь величиной, температурой T, то плотность потока излучения может быть пропорциональна только T⁴.
Теперь вернемся к чёрной дыре. Она невращающаяся и незаряженная, так что описывается одной величиной: массой M или гравитационным радиусом R (они из соображений размерности пропорциональны друг другу, только здесь надо другую систему единиц брать: ту, в которой гравитационная постоянная принята за единицу; в противном случае она есть в формуле).
Выберем радиус R в качестве характеристики чёрной дыры. Мы знаем, что должно быть излучение, которому соответствует температура T; какая это температура, как она связана с R?
Поскольку никаких других характеристик у нас нет, R измеряется в 1/К, а T - в К, то ясно, что температура обратно пропорциональна гравитационному радиусу. Поскольку он пропорционален массе (а коэффициент пропорциональности содержит гравитационную постоянную), то T обратно пропорционально GM. Так что гравитационная постоянная уже учтена в формуле гравитационного радиуса.
И мы получаем важный результат: если чёрная дыра вообще излучает как абсолютно чёрное тело, то температура излучения обратно пропорциональна гравитационному радиусу.
Теперь возвращаемся в обычную систему единиц и пишем: T~C/R. Нам надо собрать коэффициент С из доступных констант, а его размерность теперь известна: это кельвин-метр. Поместив k Больцмана в знаменатель, получим Дж-метр. Поместив в числитель ħc (размерность Дж-сек-м/сек=Дж-м), получим как раз то, что надо. В итоге имеем результат: коэффициент пропорциональности пропорционален комбинации ħc/(kR). Безразмерный фактор может быть отличен от единицы, но он не может быть большим. Так что на уровне оценки мы правы.
Величина H=ħc/k=1.44∙10⁻³ K∙м. Мы знаем, что гравитационый радиус Солнца около 3 км, то есть чёрная дыра с таким радиусом имела бы температуру порядка 5∙10⁻⁷К. Что уж говорить о более крупных. Температуру в единицы кельвинов имели бы чёрные дыры с радиусами порядка миллиметров. Земля с ее гравитационным радиусом порядка 1 см имела бы (став чёрной дырой) температуру 0.15 К. Чтобы чёрная дыра была реально горячей, сотни кельвинов, ее размеры должны быть еще мельче: десятки микрон и меньше. Это массы в тысячи раз меньше Земли: по космическим меркам совсем мало.
Поскольку температура звездных (и более тяжелых) чёрных дыр намного меньше температуры реликтового излучения (2.7К), то чёрные дыры питаются им, поглощая больше, чем излучают.
Теперь пишем закон излучения. Поток энергии пропорционален T⁴ и площади чёрной дыры, то есть квадрату радиуса. То есть поток энергии обратно пропорционален квадрату радиуса. Энергия пропорциональна радиусу, так что получается уравнение: скорость уменьшения радиуса чёрной дыры обратно пропорциональна его квадрату.
Коэффициент пропорциональности равен 2πσH⁴/G≈2∙10⁻⁸ м³/с, где σ - постоянная Стефана-Больцмана, равная 4.67∙10⁻⁸Вт/м²/с. В самом деле, T⁴~H⁴/R⁴, плотность потока энергии σH⁴/R⁴, сам поток получается умножением на площадь сферы 4πR², что даёт 4πσH⁴/R² и это поток энергии. Делим на c², получая поток массы. Масса связана с радиусом формулой R=2MG/c², или M=Rc²/(2G), то есть потеря массы сопровождается сокращением размера по формуле 2πσH⁴/(GR²).
Разделяя переменные, можно получить формулу для снижения радиуса, и она такая:
R³ = (R₀)³ - 6πσH⁴t/G.
Условие обнуления радиуса дает время G(R₀)³/(6πσH⁴)≈10⁸(R₀)³/6. Это время в секундах при условии, что R₀ в метрах. В году порядка 10⁷ секунд, то есть в годах порядок величины (R₀)³. То есть чёрная дыра размером порядка километра (тысяча метров) проживет порядка миллиарда лет. Что уж говорить о более массивных чёрных дырах.
Зато чёрная дыра земной массы (радиус порядка сантиметра) испарится очень быстро. Теперь куб уменьшает, а не увеличивает, так что одна сотая метра приводит к одной миллионной года. Это полминуты.
На самом деле, мы могли допустить ошибку в пределах порядка. Но это не столь важно: качественные особенности мы уловили правильно.
