Что не так с методикой Петерсон? Часть 2. Лингвистика и блок-схемы вместо арифметики.

В 70-х годах прошлого века академики во главе с Колмогоровым решили реформировать систему образования, построив математику на более научной основе. Соответственно и вся начальная школа должна была перестроиться под эту задачу.

Корни появления учебников Петерсон лежат именно в той провальной реформе. Всю апологетику раннего введения теории множеств можно прочесть в публикациях тех лет. Например, пропагандистская книга «Математика атакует родителей», о которой мы писали в статье «Отравление высшей математикой», как раз высмеивает классическую методику и защищает теоретико-множественный подход и теорию вероятностей в школе.

К слову, ТВ с нового учебного года как отдельный предмет будет официально введена в средней школе, наряду с курсами алгебры и геометрии. Можете про это прочитать в недавней статье в Коммерсанте [1]. Кстати, интересно как выстроена эта статья: в начале ругают загнивающий Запад, потом Ященко в белом фраке рассказывает, какой он молодец и как сейчас под его чутким руководством развивается школьное матобразование, а в конце всё это заполировано фразой "программы хорошие, но учить по ним пока некому". Это-то программы хорошие? Ну-ну...

Во времена колмогоровской реформы были также и те, кто критиковал её, всячески призывая к здравому смыслу и ссылаясь на азы философии и методики преподавания. Например, академик Л. Понтрягин написал великолепную статью «О математике и качестве её преподавания» [2]. Именно на неё мы будем ссылаться ниже в некоторых принципиальных местах.

Пособия Петерсон критикуют не только за абстрактность, но и за особый подход к математике.

Уже начиная с 3 класса в этих учебниках вводится нотация теории множеств. Школьников заставляют изучать символику высшей математики и рисовать диаграммы Эйлера-Венна (да, именно так называется целый раздел в 3 классе). А уже в 6 классе школьников знакомят с кванторами существования и всеобщности, чтобы в дальнейшем использовать их в работе [3].

Так математика как идеальное отображения реального мира превращается в схоластику. Язык математики подменяет её суть. Наука, которая изучает в конечном счёте объективную действительность, сужается до изучения высказываний и предложений. Об этом как раз предупреждал в своей статье Понтрягин.

Например, вот его слова о сути математики:
«Абстрактность математики — производное, следствие ее специфической природы, а не наоборот; абстракция есть логический акт, производный от содержательной деятельности; "форма как таковая" есть определенная содержательная предметная деятельность, состоящая в воспроизведении стороны предметов, явлений, процессов объективного мира; рассмотрение ее "самой по себе", вне этой предметной деятельности приводит в конце концов к отождествлению предмета науки с ее "языком", то есть к соскальзыванию в идеализм, в метафизику. Отождествление предмета теории с ее формальным аппаратом приводит к тому, что математика — в представлениях горе-философов — вырождается в лингвистику (подобно тому как аналогичная тенденция приводит теоретическую лингвистику, наоборот, к отождествлению с математикой).»

О теоретико-множественном подходе:
«В основу изложения авторы ныне действующих учебников положили теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции и предполагающий определенную математическую культуру, которой школьники не обладают и не могут обладать. Ее нет и у большинства преподавателей. Что же в итоге произошло? Искусственное усложнение учебного материала и непомерная перегрузка учащихся, внедрение формализма в содержание обучения и отрыв его от жизни, от практики. Многие важнейшие понятия школьного курса математики (такие, как понятия функции, уравнения, вектора и т. д.) стали труднодоступными для сознательного усвоения их учащимися.»

О математическом методе:
«На определенном этапе развития математики высокоабстрактная теоретико-множественная концепция ввиду ее новизны стала модной, а увлечение ею - превалировать над конкретными исследованиями. Но теоретико-множественный подход - лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике. Современные школьные учебники по математике поэтому - шаг назад в трактовке этой науки, они несостоятельны по своему существу, поскольку выхолащивают суть математического метода.»

О слове и понятии «множество»:
«Нет ничего предосудительного в том, чтобы в средней школе употреблялось "множество" как слово русского языка. Так, определение окружности можно дать в двух вариантах.
Первый: "Окружность состоит из всех точек плоскости, отстоящих от заданной точки на одном и том же расстоянии".
Второй: "Окружность есть множество всех точек, находящихся на заданном расстоянии от заданной точки".
Второй вариант определения окружности ничем не хуже и не лучше первого. И слово "множество" совершенно безвредно, а, в общем, бесполезно. Но в модернизированных учебниках и программах оно возведено в ранг научного термина, и это повлекло за собой уже серьезные последствия. Сразу же появились и такие понятия, как "пересечение множеств", "объединение множеств", "включение множеств". И вводятся соответствующие значки. Кажущиеся нам, математикам-профессионалам, очень понятными, эти выражения и значки не так уж легко воспринимаются учениками, а главное-они не нужны для понимания школьных истин математики.»

О логике высказываний:
«Примеры уже даются в учебнике для четвертого класса. Так, приводится "предложение": "Река х впадает в Каспийское море". Далее разъясняют, что если вместо х подставить "Волга", то мы получим правильное утверждение, и, следовательно, "Волга" есть решение этого уравнения. Если же вместо х подставить "Днепр", то получится неверное утверждение, и потому "Днепр" не является решением этого уравнения."
Какое это имеет отношение к математике? У нее своя специфика, и нет надобности сводить ее к грамматическим понятиям. Однако этот факт в высшей степени симптоматичен, если вернуться к тому, что говорилось выше о "философии математики", готовой свести предмет математической теории к манипулированию ее "языком" - к "лингвистике".»


При всей адекватности такого понимания математики, не все согласны с тем, что она должна быть связаны с внешним миром и в первую очередь должна из него черпать идеи и практические научные задачи.

Например, известный советский и американский математик Манин Ю.И. сформулировал свой взгляд на эту науку таким образом:

«Математика - это отрасль лингвистики или филологии, занимающаяся преобразованием конечных цепочек символов некоторого конечного алфавита в другие такие цепочки при помощи конечного числа «грамматических» правил. Отличие от естественных языков, вроде китайского, английского или русского, состоит лишь в том, что в грамматике этого специального языка есть отсутствующие в живых языках правила (например, набор символов «1+2» можно заменить на символ «3»).» (Цитировано по статье Арнольда В.И. [4])

К сожалению, это довольно распространенная точка зрения. Например, в узкоспециализированном паблике Физ-мат класс автор настаивает [5] именно на таком якобы более научном отношении к математике. Тем самым деформируя мышление целевой аудитории - школьников, которые в целом имеют склонности к изучению этого предмета.

И возвращаясь к учебникам Петерсон… Она с соавторами тоже превращает школьную математику в раздел лингвистики. А первоочередной упор на записи искажает реальное содержание предмета.

Понимая, что детям трудно разбираться в дебрях подобной недоматематики, составители пошли дальше и решили «облегчить» жизнь школьников: на раннем этапе в учебниках вводится понятие алгоритма и формальный язык его записи в виде блок-схем.
А чтобы как можно ближе познакомить детей с этим понятием, даже обычные задачи сводятся к выполнению подходящей последовательности действий...

И в итоге в дополнение к лингвистическому взгляду на математику школьникам эта дисциплина представляется как набор алгоритмов, которые просто нужно как-то выведать.


Ссылки:
[1] Плюс-минус математика. Ведущие математики рассказали об образовательных переменах. https://www.kommersant.ru/doc/5215411
[2] Л. Понтрягин. О математике и качестве её преподавания.
https://www.mccme.ru/edu/statii/kommunist.htm
[3] Упражнения 123/1 по математике 6 класса, учебник часть 1, Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.
https://edu.skysmart.ru/resheniya/6-klass/matematika/..
[4] В.И. Арнольд. Математическая дуэль вокруг Бурбаки
http://vivovoco.astronet.ru/VV/PAPERS/NATURE/BURBAKI...
[5] https://vk.com/phys_math_course?w=wall-129346689_791