Думаю многие сразу после прочтения статьи про треугольник Рёло начинали искать моноширинные тела. И даже находили, тела вращения многоугольников Рёло, сферу и тела Мейснера, понятно что тел вращения многоугольников бесконечно много, сфера одна. Должно быть и бесконечное многообразие моноширинных многогранников. Но, но но. Кроме тетраэдров Мейснера я лично не нашел более ни одного. Ну одно я построил в видео за 5 минут. Но это скорее результат их изучения чем результат поиска.
Сегодня мы сделаем шажок с направлении изучения построения моноширинных тел произвольной формы. Для меня он когда то стал первым.
Итак начнем с построения правильной пятиугольной пирамиды:
Очевидно что такая пирамида нам совершенно не подойдет. Почему? Ну потому что у неё ширина намного больше высоты. Значит нам нужна другая. Так же правильная. Но но скажете вы откуда же её взять если правильная пятиугольная пирамида только одна. Обратимся к трудам Кеплера и выясним что помимо правильных многогранников бывают правильные звездчатые многогранники. Внутренние пересечения там не считаются пересечениями. Строим звездчатую пятиугольную пирамиду:
Ну вот, это уже то что нам нужно. Забегая вперед скажу что в отличии от обычны правильных пирамид. Звездчатых правильных пирамид бесконечно много. Вот такая большая правильная звездчатая пирамида существует для любого нечетного количества углов основания. Потому что чем больше углов тем ближе к центру фигуры ребро треугольника, и соответственно выше пирамида. Что нам от этой пирамиды понадобится чтобы построить моноширинную пирамиду. Ну во первых если в каждую из вершин такой пирамиды(Напоминаю что по Кеплеру внутренние пересечения вершины не образуют а значит вершин всего 6) Поместить по сфере радиус которой равен длине ребра пирамиды (она же длина ребра правильного треугольника из которых пирамида состоит) мы получим правильную пирамиду "Рёло" их так принято называть по аналогии с плоскими правильными моноширинными многоугольниками.
Давайте получим и посмотрим:
Вот такая она у нас красавица. Несколько раз я находил в интренете под видом тела Мейснера тетраэдр Рёло. Данная пирамида как и обозначенный тетраэдр не являются моноширинным телами. Казалось бы напротив каждой вершины находится участок сферы, от вершины до сферы одно расстояние, да это так, но от "ребра" до "ребра" расстояния немного большие. это связано с тем что дуги формирующие как бы рёбра пирамиды не попадают в телесные углы образованные вершиной и многоугольником противоположной "стороны". Для наглядности уберем эти углы.
Вот, о чем это нам говорит, еще раз. Если зажать данное тело между двух плоскостей, общая для двух плоскостей касательная либо пройдет через вершину и участок сферы ограниченный телесным углом выходящим из данной вершины и проходящим через грань пирамиды(в данном случае просто пирамиды, не звездчатой). Либо попадет на эти проблемные участки, где ширина пусть немного но больше. Такая касательная не проходящая через вершину всегда будет проходить через 2 проблемных участка. Причем эти участки в случае с пирамидой будут один при основании, а второй боковой, а накрест лежащие ребра пирамиды к которым можно отнести эти два участка будут перпендикулярны.
Вот, такие пары если проще. Если одна из параллельных плоскостей расстояние между которыми равно ширине рассматриваемого тела касается одного из участков вторая обязательно касается второго участка, по другому не получится.
Для одного из участков крайнее еще без проблемное положение соответствует дуге треугольника Рёло(боковой участок), а для второго, при основании, соответствует дуге пятиугольника Рёло. Вот этими дугами мы и можем отсечь лишнюю ширину чтобы привести пятиугольную пирамиду Рёло к состоянию правильной моноширинной пятиугольной пирамиды. Но только одной дугой для каждой пары. Соответственно для правильной моноширинной пятиугольной пирамиды существует несколько форм. 1: все боковые ребра срезаны ребра при основании угловатые. 2: 4 боковых ребра обрезаны и одно при основании, 3: 3 смежных боковых ребра обрезаны ребра и 2 смежных при основании. 4: 2 смежных боковых 1 противолежащее обрезаны и 2 ребра при основании отстоят на 1 ребро. 5: 2 смежных боковых ребра обрезаны и 3 смежных при основании. 6: 2 боковых ребра отстоящих на одно и в основании 2 смежных и одно противолежащее. 7: 1 боковое ребро обрезано и 4 ребра срезаны при основании. 8: Все ребра срезаны при основании.
Итого 8 форм.
Для их построения нам потребуется выяснить на какой угол прокручивать дугу пятиугольника либо треугольника Рёло. Ну это выяснить просто, достаточно построить треугольную пирамиду на базе нашей звездчатой правильной пирамиды и измерить 2 угла между гранями:
Угол a будет равен приблизительно 41.818, а b соответственно приблизительно 63.431.
Напишите в комментариях какая пирамида по вашему займет меньший объем при заданной ширине, та у которой срезаны все ребра при основании, или та у которой срезаны все боковые ребра.
