Здравствуйте, Дорогие друзья! Мы продолжаем помогать нашим будущим коллегам в подготовке к ЕГЭ. И сегодня мы рассмотрим седьмую задачу из профильной математики. Очень скоро мы вернемся к изучению рубрики программирования, ну а пока, задача:
Задача 7(1)
Компания, производящая пылесосы, реализует продукцию по t=1500 рублей за единицу (видимо порядочные люди), затраты на производство единицы составляют k=1000 рублей. Расходы предприятия в месяц составляют z=600000 рублей. Месячную прибыль предприятия можно найти по формуле p=n*(t-k)-z. Определить количество ежемесячно производимых пылесосов n, если прибыль составит 400000 рублей.
Решение:
Итак, анализируем, что у нас есть. Мы знаем сколько нужно денег, чтобы произвести пылесос и чтобы его продать. Также мы знаем, сколько потратим всего денег в месяц и какую прибыль получим. Задача не сложная. Сами посмотрите:
Задача решена, записываем ответ: 2000.
Перейдём к следующей задачке. Придумаем что-нибудь «этакое».
Задача 7(2)
Решение:
Задача не такая уж сложная, скажу об этом сразу. Итак, у нас имеются все параметры для решения задачи.
Записываем ответ: 112,5.
Как Вы уже заметили, седьмая задача решается просто: мы подставляем в уравнение заданные параметры.
Закрепим. Решим еще пару задач.
Решение:
Да-да, я взял эту задачку с портала по подготовке к ЕГЭ и немного «докрутил» её условия. Начнем, пожалуй ее решать. Анализируем то, что у нас есть: у нас есть формула для нахождения скорости через ускорение и путь, есть значения этой самой скорости и ускорения. Ищем путь. То есть всё сводится к решению единственного заданного нам уравнения:
Теперь подставляем данные в формулу и находим путь, только нужно быть внимательным и не путать единицы измерения, ведь у нас могли быть заданы, например километры в час в квадрате и метры в секунду. Но у нас с единицами измерения всё в порядке.
Отлично! Задача решена.
Задача 7(4)
Датчик настроен так, что если падение напряжения на его клеммах становится не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Решение:
Вот это я понимаю, задача. Здесь у нас обычный гармонический сигнал. Итак, пока напряжение на клеммах датчика выше эталонного, лампочка будет гореть. Значит, нужно найти при каких значениях t, значение синуса будет больше либо равно 0,5 (делим сигнал на амплитуду). Вспоминаем, при каком значении угла синус равен 1/2. При 30 градусах. Тридцати градусам соответствует п/6 радиан (+2*п*К, К=0,1,2…). Как легко установить соотношение между градусами и радианами? Давайте разберемся: пи радиан – это 180 градусов, то есть половина полного оборота вектора. Принято считать, что вектор вращается против часовой стрелки. Полный оборот вектора – это 360 градусов или 2*пи. К этим величинам и «привязываются» градусы. 1 градус соответствует пи/180, два градуса=пи/90, десять градусов – это пи/18. Всё просто. Но тут есть оговорка, если говорить о тригонометрии. Если, скажем у нас есть два угла: один – 1 градус, а второй – 361 градус. Значения синусов, косинусов, тангенсов и прочих «-сов» для этих углов будут одинаковыми. Сами посмотрите:
Вы правильно поняли, 1 градус и 361 градус – это один и тот же угол, но с поправкой +2*пи. То есть мы можем сделать хоть сто полных оборотов по окружности, но получим один и тот же угол. Почему так? Объясняю ещё более просто. Пусть у нас есть часовая стрелка и она показывает 3 часа дня. Представим это вот так:
Каждые две минуты стрелка будет смещаться на-1 градус (знак минус потому, что движемся по направлению часовой стрелки, а не против). Ровно через 12 часов стрелка вернется на 3 часа. При этом она пройдёт весь циферблат, совершив оборот в 2*пи.
Стрелка относительно оси икса показывает другой угол или тот же, что и сначала? Верно, относительно оси угол тот же. Но угол оборота от первого до второго положения стрелки 360 градусов.
Также дело обстоит и с углами в тригонометрии: совершили один полный оборот и вернулись к исходному углу, получили значение исходного угла+2*пи, совершили еше один оборот, прибавили еще 2*пи и так далее. Для того, чтобы не перечислять все обороты, в тригонометрии придумали постоянную «k». Она показывает не сами полные обороты, а их количество. Например, у нас есть угол 15 градусов, мы совершили два полных оборота и вернулись в исходную точку, то есть получили угол 15+360+360=735 градусов. И пусть нам нужно определить синус полученного угла. Мы смотрим в таблицу, а значения синуса для такого угла там не указано, только до 2*пи. Вспоминаем про пример с часами и ищем исходный угол, то есть вычитаем полные обороты из угла. Сначала вычитаем один полный оборот: 735-360=375, это значение тоже больше, чем 2*пи, а значит мы можем вычесть еще один оборот: 375-360=15 градусов.
Такие значения Вам вряд ли попадутся в билете, будут «стандартные» 30, 60, 45, 90... Значения синусов этих углов вы должны знать наизусть. Всю таблицу заучивать не надо-это лишние данные. Выучите только значения синусов и не забывайте основное тригонометрическое тождество, в одной из статей мы о нём говорили:
Ничего сложного: синус в квадрате плюс косинус в квадрате – это единица. Давайте попробуем найти косинус, зная значение синуса? Пусть нам задан угол а=пи/6. Мысленно переводим в градусы:
Вспоминаем синус для 30 градусов (повторяю, синусы углов 30,45,60 и 90 нужно знать наизусть).
Находим косинус этого угла. Пользуемся основным тригонометрическим тождеством:
Из тройки из-под корня целое число не выносится, поэтому так и оставляем его под корнем. А вот из четверки, напротив, выносим – это двойка (дважды два-четыре, это всем известно и так далее):
Готово. Именно это значение Вы увидите в таблице тригонометрических значений, если в неё посмотрите.
Требуют найти тангенс этого угла? За чем же дело встало? Мы с Вами уже повторяли в одной из статей, что тангенс-это синус разделить на косинус:
Значение синуса мы запомнили, а значение косинуса вычислили только что. Подставляем их в формулу и находим тангенс:
При делении, дробь, на которую делят, переворачивается, а знак деления заменяется на умножение:
Ну а если нужно ещё и котангенс найти? Да это ещё проще: котангенс – это отношение косинуса угла к его синусу:
Итак, зная только значение синуса мы нашли косинус, тангенс и котангенс угла. Не слабо? А теперь о том, как не перепутать по какой формуле что считать (я про тангенс и котангенс). Это тоже не сложно запомнить, смотрите:
Вот так и можно запомнить: КОтангенс - значит в числителе КОсинус.
Вернёмся теперь к нашей задаче. Напоминаю условия: у нас есть датчик, в котором есть индикатор-лампочка. Датчик прикреплен к клеммам приемного устройства, на вход которого приходит синусоида. Лампочка горит только тогда, когда значение сигнала больше, чем 1 Вольт. Нам нужно найти время, которое лампочка будет гореть на первой секунде работы датчика.
У нас есть формула
Мы знаем напряжение сигнала U при работающей лампочке датчика, оно составляет 1 В, также мы знаем амплитуду U0 – это максимальное значение напряжения U.Из этой формулы мы легко можем выразить синус:
Синус равен 1/2 при 30 градусах, мы с Вами это уже повторяли. То есть:
А теперь не торопимся записывать ответ! Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображен наш сигнал:
Хорошо вот так вот сидеть и строить график в Матлабе, а как же на экзамене это сделать?
Из этого рисунка мы видим, что у нас две положительные полуволны ДО СЕКУНДЫ. Нам этого будет вполне достаточно для решения. Даже тот факт, что синус у нас сдвинут по фазе нам не помешает, так как первое значение, при котором лампочка загорится мы уже нашли. Для того, чтобы найти количество полуволн, нужно найти частоту. У нас она уже задана. Но только в радианах/секунду. Просто переводим из циклической частоты в обычную, из физики Вы должны помнить, что:
За время (период) Т=1/f=3/5=0,6 секунд, будет одна положительная полуволна и одна отрицательная, то есть точка сместится на 2*пи:
То есть в одном периоде две полуволны. Зачем нам это нужно? Нам нужно посчитать количество положительных полуволн (горбов, где значения по игреку больше нуля). Время у нас идёт по иксу. По задаче нам дана 1 секунда сигнала, то есть мы учитываем только ту часть синусоиды, которая находится в диапазоне от нуля до единицы (ПО ИКСУ). Синус начинается (как и косинус) с положительной полуволны. Считаем количество периодов в заданной нам секунде:
t/T=1/0.6=1.5 с копейками
То есть будет полтора «целых» периода. Одному периоду соответствует две полуволны, а значит у нас полуволн сколько? Верно! Три. При этом первая полуволна положительная, вторая отрицательная, третья – положительная.
У нас ДВЕ положительные полуволны, то есть наша лампочка загорится за секунду два раза. Давайте найдём время, которое будет гореть лампочка для первой положительной полуволны. Смотрим еще раз вот на этот рисунок:
Мы видим, что каждая полуволна симметрична точке перегиба.
Да, на экзамене Вы это не нарисуете, но если Вы поймёте как выполняется это задание, то и рисовать ничего не нужно будет. То есть нужно найти значение t в точке перегиба, вычесть из него найденное ранее 0,025 и получить x, а потом x умножить на два. Так мы найдём время, которое горит лампочка для одной положительной полуволны. Я Вас, скорее всего, ненамеренно уже запутал. Поэтому идём по шагам. У нас есть два обрезка синусоиды. Каждый обрезок симметричен относительно высоты, опущенной из точки перегиба. Так думаю понятнее. Мы должны найти координату x этой точки перегиба. Как это сделать? В этой точке значение сигнала равно значению амплитуды:
Теперь нужно найти промежуток, длительностью x, он располагается от 0,025 секунд до 0,125 секунд.
Теперь находим длительность 2*x, то есть время, когда лампочка горит для одной полуволны:
То есть мы получили вот это значение:
Итак, мы нашли время для одной полуволны, но как мы выяснили, у нас их две. «Кусочки» этих полуволн одинаковые, поэтому просто умножаем длительность горения лампочки на количество этих «кусочков».
Готово. Записываем ответ: 0,4.
Если что-то при решении задачи было непонятно ещё раз его перечитайте. Понять принцип решения очень важно – это существенно сократит время решения задачи.
Ну чтож, на сегодня, пожалуй, хватит. Мы с Вами рассмотрели примеры решения седьмой задачи ЕГЭ профиля математики. Также мы повторили некоторые тригонометрические «заморочки» вроде синуса, косинуса и т.п. Надеюсь, эта статья поможет Вам в подготовке к экзамену и вы сдадите его на отлично. Спасибо, что посетили мой канал. Если эта статья действительно была Вам полезна, поделитесь ею с друзьями, может и им она поможет в подготовке. Если Вы еще не подписаны, исправьте это смело. Ну а если подписаны, то я говорю, спасибо, что читаете! Впереди будет много интересного. До встречи!
