Вероятность — степень возможности наступления некоторого события. Случайность, как часто в нашей жизни встречается это слово. Мы практически каждый день сталкиваемся с ситуациями, когда пытаемся предугадать возможность наступления какого-либо события, потому что оно может как произойти, а может и нет.

В математике уже давно есть способы, которые помогают оценить вероятность наступления случайного события. В этом я и хочу разобраться в ходе своей исследовательской работы.

Цель моей работы – изучить данную тему, пополнить свои знания дополнительным материалом, посмотреть и проработать примеры решения типовых задач на вероятность.

Задачи:

• Собрать и изучить материал о теории вероятностей, воспользовавшись различными источниками информации;

• Познакомиться с историей возникновения теории вероятностей;

• Обобщить и систематизировать способы решения задач по основной формуле теории вероятностей;

• Проанализировать результаты исследования, сделать выводы.

Теория вероятностей. Основные понятия.

Вероятность (вероятностная мера) — численная мера возможности наступления некоторого события. С практической точки зрения, вероятность события – это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений.

Случайное событие – результат действия, возможный исход рассматриваемой ситуации

Искомое событие (искомый исход) – интересующее нас какое-либо определённое событие.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Теория вероятностей находит широкое применение в нашей жизни. Она используется в физике, в анализе азартных игр, в страховании и в расчете пенсионных схем. На теории вероятностей основана разработка, применение и анализ вероятностных алгоритмов.

История возникновения теории вероятностей.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (кости, рулетка).

Начало формирования во второй половине XVII века основных понятий и методов теории вероятностей для случайных величин с конечным числом значений. Стимулом вначале служили преимущественно проблемы, возникающие в азартных играх, однако область применения теории вероятностей почти сразу начинает расширяться, включая в себя прикладные задачи статистики, страхового дела и теории приближенных вычислений. На этом этапе важный вклад в идеи новой науки внесли Блез Паскаль и Пьер Ферма, которые исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей.

Гюйгенс ввёл два фундаментальных понятия: числовая мера вероятности события, а также понятие математического ожидания случайной величины.

В XVIII веке появились монографии с систематическим изложением теории вероятностей. Первой из них стала книга Якоба Бернулли «Искусство предположений» (1713 год). В ней Бернулли предложил классическое определение вероятности случайного события как отношение числа равновероятных исходов, связанных с этим событием, к общему числу исходов.

Идеи Бернулли далеко развили в начале XIX века Лаплас, Гаусс, Пуассон. Применение вероятностных методов в прикладной статистике значительно расширилось. Появляются первые попытки применения теории вероятностей в физике.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Основная формула теории вероятностей.

Классическое «определение» вероятности исходит из понятия равновозможности как объективного свойства изучаемых явлений. Равновозможность является неопределяемым понятием и устанавливается из общих соображений симметрии изучаемых явлений.

Наряду с понятием равновозможности в общем случае для классического определения необходимо также понятие элементарного события (исхода), благоприятствующего или нет изучаемому событию A. Речь идёт об исходах, наступление которых исключает возможность наступления иных исходов. Это несовместимые элементарные события.

Классическое определение вероятности можно сформулировать следующим образом:

Вероятностью случайного события A называется отношение числа n несовместимых равновероятных элементарных событий, составляющих событие A, к числу всех возможных элементарных событий N:

Вероятность события обозначается большой латинской буквой Р (от французского слова probabilite, что означает – возможность, вероятность)

m– число элементарных исходов, благоприятствующих событию ,

n– число всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Также важно сказать, что вероятность выражают в процентах.

Классическое определение вероятности используется для выявления благоприятных исходов теоретическим путем.

Свойства вероятности:

· Свойство 1. Вероятность достоверно события А равна единице. Р(А)=1

· Свойство 2. Вероятность невозможного события В равна нулю. Р(В)=0

· Свойство 3. Вероятность случайного события С – это положительное число, заключенное между нулем и единицей.

· 0 ≤ Р(С) ≤ 1

Основные виды задач на определение классической вероятности.

Рассмотрим основные виды задач на вероятность случайного события, которые решаются с помощью классического определения вероятности.

1 вид. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 180 сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение: m= 180-8 = 172 сумки качественные,

n= 180 всего сумок. P= = 0,955...≈ 0,96

2 вид. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Решение: Всего вариантов n = 2×2×2=8.

Благоприятных m = 3 варианта: о; о; р о; р; о р; о; о .

Вероятность равна

3 вид. В сборнике билетов по биологии всего 35 билетов, в 14 из них встречается вопрос по зоологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по зоологии.

Решение: сначала найдем количество билетов по зоологии: m = 35-14=21

n = 35 – всего билетов

Вероятность равна:

4 вид. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

Решение: Так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет (m = 9, n = 25):

5 вид. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Финляндии

Решение: Всего участвует n = 9+3+8+5=25 спортсменов.

А т.к. финнов m = 5 человек, то вероятность того, что на последнем месте будет спортсмен из Финляндии

6 вид. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Решение: Игральные кости - это кубики с 6 гранями. На первом кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Каждому варианту выпадения очков соответствует 6 вариантов выпадения очков на втором кубике. То есть n= 6×6 = 36.

Варианты (исходы эксперимента) будут такие:

1;1 1;2 1;3 1;4 1;5 1;6 2;1 2;2 2;3 … 6;1 6;2 6;3 6;4 6;5 6;6

Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых сумма очков двух кубиков равна 8: 2;6 3;5; 4;4 5;3 6;2

Всего m = 5 вариантов.

Найдем вероятность:

7 вид. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: 1 день – 12 докладов, 2 день – 12 докладов, 3 день – 12 докладов,

4 день – 22 доклада, 5 день – m = 22 доклада, потому что (80- 3×12):2=22.

n = 80 – всего выступлений.

Вероятность выступления профессора М:

8 вид. В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 12 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: m = 2000-12=1988 - насосов не подтекает, n= 2000 – всего насосов

Вероятность, что случайно выбранный насос не подтекает: P= =0,994

Исследование.

Среди учеников часто возникает вопрос: «А можно ли написать тест на положительную оценку, выбирая ответы наугад?»

Ответить на этот вопрос можно путем использования элементов теории вероятностей.

Я хочу проверить это на примере предмета алгебра.

Мы составили тест из 10 заданий с выбором ответа из 4-х предложенных. Чтобы получить положительную оценку за тест, нужно набрать не менее 5 баллов. Каждое задание имеет 4 варианта ответов, один из которых правильный. Определить вероятность получения положительной оценки на тест можно по формуле Бернулли.

Был проведен опрос среди моих знакомых (5 человек)

Как вы считаете, можно получить положительную оценку за тест, отвечая на вопросы методом угадывания?

• 2 человека (40%) считают, что таким способом сдать экзамен можно.

• 3 человек (60%) считают, что нельзя.

Я попросил ребят попробовать наугад пройти тест. Для того чтобы получить оценку "3" необходимо набрать не менее 5 баллов.

По результатам тестирования более пяти баллов набрал один человек (20 %) и 4 – менее пяти баллов (80%).

Из этого я сделал вывод, что метод угадывание не эффективен, и все равно нужно готовиться к самостоятельным работам.

Заключение.

В ходе работы над проектом были выделены основные виды задач, которые решаются классического определения теории вероятности. Наиболее значимые и интересные из них были рассмотрены в виде примеров.

В ходе проектной работы было проведено исследование (тестирование), которое позволило выяснить, что набрать нужное количество баллов для положительной оценки наиболее вероятно при тщательной подготовке, а не методом угадывания.

Поэтому на основании проделанной работы и полученных знаний можно утверждать, что теорию вероятности можно использовать не только по прямому назначению на уроках математики, но и в жизненных ситуациях.

Знания, приобретенные в ходе работы над проектом, пригодятся для успешного решения задач по математике на ОГЭ.

Список литературы.

1. Википедия. Вероятность https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

2. Википедия. Теория вероятностей. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

3. Википедия. История теории вероятностей. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

4. Задачи на классическое определение вероятности. Примеры решения. http://mathprofi.ru/zadachi_na_klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti_primery_reshenij.html

5. А.В. Гуревич, И.Е. Зайцева, Т.М. Кривоносова, Т.А. Рак, О.О. Шатилова. «Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике». https://www.bsuir.by/m/12_100229_1_124426.pdf