Расчёт стальной внецентренно сжатого стержня сплошного сечения
Выполним верификационный расчёт элемента верхнего пояса фермы, при условии жёсткого сопряжения стержней.
Ввиду того что происходит потеря местной устойчивости, расчёты будут выполняться в следующем порядке:
1 Определение расчётных геометрических характеристик;
2 Проверка по нормальным напряжениям;
3 Проверка местной устойчивости;
4 Проверка устойчивости внецентренно сжатого стержня с учётом уменьшенной площади сечения Ad;
5 Проверка по второму предельному состоянию.
1. Исходные данные
Длина стержня 2.91614 м.
Поперечное сечение –прямоугольная труба
H=160 мм, Bf=120 мм, t=4 мм, R=4 мм.
Марка стали С345 по ГОСТ 27772-88. Характеристики материала приведены на рисунке:
Принятое расчётное сопротивление стали С-345, Ry=320 МПа.
Внутренние усилия в элементе представлены в таблице
Усилия в сечениях стержня. Сечение 1:
N1=317.274 кН,My1=2.14719 кН;
Усилия в сечениях стержня. Сечение 2:
N2=317.36 кН,My2=0.331323 кН;
2. Определение расчётных геометрических характеристик
Расчётная длина элемента относительно оси Y
l0Y=l*mu=1*2.91614=2.91614 м,
где l – геометрическая длина;
mu=1 – коэффициент расчётной длины;
Расчётная длина элемента относительно оси Z
l0Z=l*mu=1*2.91614=2.91614 м
где l – геометрическая длина;
mu=1 – коэффициент расчётной длины;
Геометрические характеристики сечения
Геометрические характеристики элемента:
A=21.35 см2, Wx=99.04 см3, Wy=84.97 см3, Ix=792.3 см4, Iy=509.8 см4, ix=6.06 см, iy=4.89 см.
Определение гибкости элемента
Гибкость относительно оси Y1
Lyambda_y = loy/iy = 2916.14/60.9 =47.884;
Гибкость относительно оси Z1
Lyamda_z = loz/iz = 2916.14/48.9 =59.635;
Условная гибкость относительно оси Y1
Условная гибкость относительно оси Z1
3. Проверка по нормальным напряжениям внецентренно сжатого элемента
9.1.2 Расчет на прочность внецентренно сжатых (сжато-изгибаемых) элементов по формуле (105) выполнять не требуется при значении приведенного относительного эксцентриситета m_ef<=20 (9.2.2), отсутствии ослабления сечения и одинаковых значениях изгибающих моментов, принимаемых в расчетах на прочность и устойчивость.
Расчёт на прочность по формуле (105) не выполняем, т.к. m_ef<20, расчёт m_ef выполнен далее.
Расчёт на прочность по формуле (106)
где x и y – координаты рассматриваемой точки сечения относительно главных его осей.
Процент использования по нормальным напряжениям 53.21458267 %
Результат ЛИРА-САПР – 53.2%
4. Проверка местной устойчивости
Проверка выполняется в соответствии с требованием раздела 9.4.
4.1 Проверка устойчивости стенки
Определение отношения расчётной высоты стенки к её толщине
hef/t=144/4=36;
h_ef=h-2*R-2*t=160-2*4-2*4=144 мм;
Определение предельной условной гибкости стенки , основные этапы:
1 Определение относительного эксцентриситета m;
2 п.9.4.2, определение значения по таблице 22. В зависимости от полученных значений m могут быть рассмотрены 2 случая: По значению условной гибкости при расчёте на центральное сжатие: Условная гибкость <=2 и >2.
Примечание к таблице 22:
1 Для сечений типа 1 при значениях при значениях 0<mx<1 или 10<mx<=20 значения предельной гибкости стенки следует определять интерполяцией между значениями вычисленными согласно 7.3.2 (mx=0) или 8.5.1 (mx=20) и по формуле (125) или (126) соответственно.
3 Определение предельной гибкости стенки по п.7.3.2;
4 Вычисление предельной гибкости стенки линейной интерполяцией;
5 Вычисление уменьшенной площади сечения Ad, если фактическое значение гибкости стенки превышает предельное;
Определение величины относительного эксцентриситета
Относительный эксцентриситет mx для сечений стержня:
Сечение 1
mx1=e*A/Wc=0.00676762*0.002135/0.000099= 0.1462899676768
здесь e – эксцентриситет, принимаемый M1/N1=2.14719/317.274=0.00676762 м;
Сечение 2
mx2=e*A/Wc=0.001044*0.00214/0.000099= 0.022567272727
здесь e – эксцентриситет, принимаемый M2/N2=0.331323/317.36=0.001044 м;
Принимаем для расчёта наименьшее значение относительного эксцентриситета: mx=0.022567272727.
Определение предельной гибкости стенки по п.9.4.2, таблица 22
Определение предельной гибкости внецентренно сжатого элемента.
Условная гибкость элемента, принимаемая в расчёте на устойчивость в плоскости действия момента сжатии = 1.887<2, расчёт по формуле (125)
Определение предельной гибкости стенки по п.7.3.2 (mx=0)
Устойчивость стенок центрально сжатых элементов сплошного сечения следует считать обеспеченной если условная гибкость стенки не превышает значений предельной условной гибкости, определяемых по формулам таблицы 9.
Условная гибкость элемента, принимаемая при расчёте на устойчивость при центральном сжатии 1.887>1.
Предельная гибкость стенки по таблице 9 при расчёте на центральное сжатие вычисляется по формуле (26)
Принимаем значение 1.377.
Вычисление предельной гибкости стенки линейной интерполяцией
Итоговое значение предельной гибкости стенки находится между значениями, полученными по результатам вычисления по п.7.3.2 и п.9.4.2:
Принимаем предельную гибкость стенки 1.4438545152283.
Определение процента использования по предельной гибкости:
Результат ЛИРА САПР 103%.
Вычисление уменьшенной площади сечения Ad
7.3.5 В случаях, когда фактическое значение условной гибкости стенки превышает предельное значение, определяемое по п.7.3.2, п.9.4.2, п.9.4.3 (для центрально-сжатых элементов не более чем в два раза), в расчетных формулах (7), а также (109), (111), (115), (116), (120) и (121) за значение A следует принимать значение A_d.
Стенка теряет устойчивость. Вычисляем высоту стенки по п.7.3.6:
Для коробчатого сечения по формуле (35)
Редуцированная площадь для коробчатого сечения при внецентренном сжатии по формуле (33):
Ad=A-2*(hef-hd)*tw=21.35-2*(14.4-14.28791766467)*0.4=21.260334131736 cм2 = 0.002126033413м2.
Данная величина будет использоваться при расчёте устойчивости стержня, см. ниже.
4.2 Проверка устойчивости полки
Основные этапы проверки:
1 Определение предельной гибкости полки для центрально сжатого элемента, п.7.3.9;
2 Определение предельной гибкости полки для внецентренно сжатого элемента, п.9.4.7;
9.4.7 Устойчивость поясов (полок) внецентренно сжатых (сжато-изгибаемых) стержней с гибкостью от 0.8 до 4 следует считать обеспеченной, если условная гибкость свеса пояса (полки) или поясного листа не превышает значений предельной условной гибкости, определяемых по формулам таблицы 23.
Определение отношения расчётной высоты стенки к её толщине
b_ef/t=104/4=26;
b_ef=b-2*R-2*t=120-2*4-2*4=104 мм;
Определение предельного значения условной гибкости свеса пояса или поясного листа центрально-сжатого элемента по п.7.3.9: В центрально сжатых элементах коробчатого сечения предельную условную гибкость поясного листа следует принимать по таблице 10, как для стенок коробчатого сечения. Принимаем значение 1.377, вычисленное при определении предельной гибкости стенки (см. выше).
Подставим значение в формулу (133):
Определение процента использования устойчивости полок
1.025/1.3656579925161=75.05539495372 %
Результат ЛИРА САПР 75%.
5. Проверка устойчивости внецентренно сжатого элемента
Определение величины приведённого эксцентриситета mef, по формуле (110)
mef=nu*m
где nu - коэффициент формы влияния, определяемый по табл. Д.2;
m – относительный эксцентриситет, определяемый по формуле:
m=e*A/Wc=0.00676762*0.00214/0.000099=0.1462899676768
здесь e – эксцентриситет, принимаемый M1/N1=2.14719/317.274=0.00676762 м;
Wc=99.04 см3 = 0.000099м3 – момент сопротивления сечения для наиболее сжатого волокна
Соотношение параметров Af/Aw=(0.004*0.12)/(0.004*0.16*2)=0.375
Определение значения nu при условной гибкости 1.877<5, при 0.1≤m=0.1462899676768≤5;
При Af/Aw=0.25
При Af/Aw=0.5
nu=1.4516439899593
Подставляем значения в формулу (110)
mef=nu*m=1.4516439899593*0.1462899676768= 0.2123609523694
5.1 Проверка устойчивости в плоскости изгиба
9.2.2 Расчет на устойчивость внецентренно сжатых (сжато-изгибаемых) элементов постоянного сечения (колонн многоэтажных зданий - в пределах этажа) в плоскости действия момента, совпадающей с плоскостью симметрии, следует выполнять по формуле (109):
N/(fi_e*A*Ry*Yc).
Определение коэффициента fi_e/
Коэффициент fi_еx для сплошностенчатых стержней определяется по табл.Д.3 в зависимости от условной гибкости 1.887 и приведённого относительного эксцентриситета mef=0.2123609523694.
Поиск значений ведём по интерполяции.
Для условной гибкости 1.887
N/(fi_e*Ad*Ry*Yc)=317.274/(0.7738158158785*0.002126033413*320000*1)=60.266617626633 %
Результат ЛИРА-САПР – 60 %
5.2 Проверка устойчивости из плоскости изгиба
Расчёт на устойчивость стержней коробчатого сечения выполняется в соответствии с п.9.2.10, по формуле (121):
При изгибе в плоскости наибольшей жесткости (Ix>Iy ; My=0) вместо fie_y следует принимать fi_y.
Определение коэффициента fi_y по таблице Д.1, для сечения типа «а», согласно п.7.1.3 таблица 7:
Определение коэффициента j по формуле (8):
Значение коэффициента delta определяется по формуле (9)
a=0.03 и b=0.06 - коэффициенты, определяемые по таблице 7 в зависимости от типов сечений.
Cx – коэффициент, принимаемый по таблице Е.1;
delta_y – коэффициент, определяемый по формуле (122)
При этом N следует принимать со знаком “-“.
Определим коэффициент сх по интерполяции:
Подставим значения в формулу (121):
Процент использования по устойчивости в плоскости изгиба 61.3460652%
Результат ЛИРА-САПР – 63.1%
6 Определение предельной гибкости элемента и процентов использования по гибкости
Предельная гибкость элемента принимается по таблице 32 СП 16.13330.2017, как для основных колонн и поясов ферм.
Зависит от продольного усилия N
Гибкость Lyambda_y1 в плоскости изгиба
Принимаем минимальное значение коэффициента продольного изгиба fiе=0.199;
Использование по предельной гибкости Lyamda_y 47.884/143.99189430556*100%=33.254649666867%
Предельная гибкость Lyambda_z1 из плоскости изгиба определяется как для центрально сжатого элемента сечения тип а по таблице 7
Определение коэффициента fi по формуле (8):
Значение коэффициента delta определяется по формуле (9)
a=0.03 и b=0.06 - коэффициенты, определяемые по таблице 7 в зависимости от типов сечений.
Использование по предельной гибкости Lyambda_z 59.635/146.4402594*100%=40.7230909344%.
Сравнение результатов расчёта
