Продолжаем, друзья, изучать математику гравитационного линзирования. Опираемся на лекции Pettini, а первая часть моих заметок к вашим услугам. Мы вывели радиус Эйнштейна: это радиус того кольца, которое получается, если источник находится точно за линзой и оба (источник и линза) точечные. Но этот радиус важен и сам по себе: от него зависит степень искажения и количество изображений объекта.
Теперь посмотрим, как линза усиливает яркость. Обычная оптическая линза тоже так может: можно даже зажечь костер с помощью лупы.
Радиус Эйнштейна обозначим Е.
Рассмотрим опять чертеж.
Можно вывести формулу для угла β через угол θ и радиус Эйнштейна:
β = θ - E²/θ.
Собственно, если β = 0, то есть источник точно за линзой, то θ = E: так этот радиус и выводился. Радиус, конечно, в угловой мере.
При линзировании сохраняется удельный поток света с единичной площади, поэтому, увеличивая размер объекта, оно усиливает и поток энергии. Величина усиления равна отношению телесного угла изображения к оригиналу. Первый угол равен θdθ, второй βdβ. Отношение можно выразить через отношение самих углов и производную одного по другому:
Производную найдем из формулы выше:
Тогда, если подставим, получится
Теперь можно выразить θ через β, подставить и прийти к формуле
Величина u имеет смысл углового расстояния между источником и линзой в единицах радиуса Эйнштейна.
Мы видим, что если источник прямо за линзой, выражение стремится к бесконечности, то есть в идеальном случае точечных источников усиливается бесконечно сильно. Вечного двигателя на этом не сделать, потому что точечный источник конечной мощности уже сам по себе вечный двигатель и поэтому не бывает. Формально это случай β=0 или, что то же, θ=E.
Второй момент: для изображения внутри кольца Эйнштейна (одно всегда внутри, другое снаружи), то есть θ⁴ < E, то μ<0. Отрицательное усиление означает усиление с зеркальным отражением. То есть изображение окажется перевернуто.
Сумма абсолютных величин двух значений μ дает измерямое полное увеличение, которое всегда больше единицы. Это легко понять, даже не решая задачу на минимум. Ведь в знаменателе формулы стоит корень, под которым u⁴+4u², а это меньше, чем (u²+2)². В числителе стоит в точности u²+2. В итоге всё выражение больше, чем 1.
Вот так сама природа дает нам возможность посмотреть на далекие объекты с увеличением.
Удивительно!