Приветствую, друзья. Сегодня рассмотрим интересную физическую модель. В школьные годы на уроках физики, при решении задач из разделов механики и динамики, в большинстве случаев нить/трос/цепь были идеальными. Смысл этой фразы был в том, что можно было считать их нерастяжимыми и невесомыми. Но в реальной жизни такого не бывает. К примеру, если мы возьмем 5 метров корабельного каната и дадим его двум мужчинам, то они не смогут его натянуть таким образом, чтобы середина не провисла ни на 1 см. Всегда будет иметься некоторое провисание за счёт массы. В этой заметке мы поговорим о том, как можно описать форму всех этих провисаний.
Для начала разомнемся с чего-нибудь простого...
Есть такая прикольная задача, которая была в каком-то из собеседований в IT-компанию «Амазон». Легенда гласит, что задача от Джеффа Безоса:
Кабель длиной 80 метров висит на двух столбах. Высота каждого столба — 50 метров. Каково расстояние между столбами, если центр провисающего кабеля находится на высоте 10 метров от земли ?
Давайте я сразу сделаю рисунок для этой задачки:
Здесь, как и в большинстве математических задач, вас пытаются ввести в заблуждение. Если вы будете внимательны, то сможете решить эту задачу без единой формулы. Догадались в чем подвох?
Если мы проведем горизонтальную линию, касательную в нижней части каната, то на столбах она отсечет по 40 метров, считая от вершины столбов. Но также и точка касания разделит канат на две равные части, каждая из которых будет по 80 (м) / 2 = 40 (м). В результате получится два криволинейных треугольника, у которых две стороны получатся равные (смотри рисунок ниже), что подскажет нам о том, что третья сторона нулевая, то есть расстояние между столбами 0 метров, а рисунок изначально был некорректным.
Но что делать, если расстояние от нижней точки каната до земли будет больше 10 метров ? А, например, 20 метров? Или 25 метров? А вот этот случай уже представляет собой интерес, потому что также просто задачу не решить.
Для решения задачи в общем виде, нам понадобится знать функцию, которая описывает форму провисающего каната.
В математической физике такая задача называется уравнение цепной линии.
Немного интересных фактов
С древних времен человечество использовало канаты, цепи, провода для закрепления различных сооружений архитектуры, кораблей, ограждений. Также как и на всё, что имеет массу, на данные предметы действует сила гравитационного притяжения со стороны Земли. Поэтому такие гибкие элементы конструкций провисают под силой тяжести.
Кривая, которая описывает форму однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной с обоих концов, находящейся под действие силы тяжести в инерциальной систему отсчета, называется цепной линией. Вполне логично предположить, что при описанных выше условиях, цепная линия является плоской кривой. То есть все её точки лежат в одной плоскости.
Долгое время ошибочно считалось, что цепная линия представляет собой параболу. Ассоциации были примерно такие: ну раз траектория полёта камня, брошенного под углом к горизонту, является параболой, то, наверное, и канат, висящий на двух столбах описывает параболу, т.к. на него тоже действует только сила тяжести.
Однако, интуиция здесь заводила людей в ошибочные суждения. И такое бывало очень часто в науке.
Примерно в 17 веке Галилео Галилей выдвинул предположение о том, что цепная линия не является параболой. Правда предположение было без доказательств. Впервые строгое решение этой задачи смогли найти Готфрид Лейбниц, Иоганн Бернулли и Христиан Гюйгенс примерно в 1691 году.
Разумеется, подходы к выводу могут быть разные...
Вывод с помощью энергетического подхода
Итак, у нас есть два столба, на которых подвешен канат. Ось координат расположим таким образом, чтобы её центр проходил через самую нижнюю часть троса. Сделаем рисунок для лучшего понимания:
Выделим участок длиной ΔL. Допустим, наша нить имеет постоянную площадь сечения и линейную плотность ρ. Тогда у выделенного кусочка будет масса Δm = ρ•ΔL. Если наш элементарный участок троса расположен в координатах (x; y), то его потенциальную энергию относительно оси x мы можем записать следующим образом:
Если мы возьмем интеграл от данного выражения от -L/2 до +L/2, где L - расстояние между столбами, то у нас получится выражение для полной потенциальной энергии:
Проблема здесь в том, что мы не знаем зависимость y(x), поэтому проинтегрировать на данном этапе не можем.
Здесь мы можем вспомнить, что всякое тело стремится к минимуму потенциальной энергии. Основы вариационного вычисления дают нам уравнение Эйлера-Лагранжа, с помощью которого мы сможем отыскать нужную нам зависимость. Давайте вспомним немного теории.
Если на пространстве гладких функций, обладающими непрерывными частными производными до второго порядка, задан функционал следующего вида:
Тогда, если функционал F(x, y(x), y'(x)) достигает экстремума на некоторой кривой y(x), то для функции Лагранжа должно быть справедливо следующее дифференциальное уравнение:
В нашем случае в качестве функционала, который нам необходимо минимизировать, выступает функция для потенциальной энергии троса:
В нашем случае лагранжиан имеет вид:
Найдем все производные, нужные для подстановки в дифференциальное уравнение:
Подставляем все производные в ДУ Эйлера-Лагранжа:
Упрощаем, приводя подобные слагаемые:
Уравнение допускает понижение порядка с помощью замены переменной:
Разделяя переменные, интегрируем ДУ:
Выражаем параметр, делаем обратную замену, разделяем переменные и снова интегрируем ДУ:
Мы получили решение, но в неудобном виде. Попробуем выразить функцию в явном виде.
Складываем это уравнение с исходным, у нас сокращаются корни:
Возьмем первую производную и учтем граничные условия, при которых видно, что первая производная равна нулю в начале координат. Это даст нам упрощение по константным коэффициентам:
Решением является кривая, описываемая уравнением гиперболического косинуса:
Зрительное отличие гиперболического косинуса от параболы
Допустим, у нас есть две заданные опорные точки. Тогда, если мы наложим условие, чтобы наши функции проходили по этим точкам, то график параболы и гиперболического косинуса будут со следующими коэффициентами:
Цепная линия является трансцендентной кривой, так как описывается аналитической функцией, которая не приводится к алгебраическому уравнению. Из-за этого возникают некоторые сложности в нахождении её коэффициентов.
Наш график зависит от параметра C, который влияет на растяжение (сжатие) кривой вдоль оси x. Здесь сделаем замечание, что переменная x отсчитывается от абсциссы самой нижней точки на оси ординат цепной линии.
Вывод с помощью баланса сил и второго закона Ньютона
По-прежнему рассматриваем кусочек тяжелой нити длиной ΔL. Масса такого кусочка будет Δm = ρ•S•ΔL. На кусок будет действовать распределенная по длине сила тяжести интенсивностью ρ•S•L•g / L = ρ•S•g, направленная вниз и равная Δm•g = ρ•S•g•ΔL.
ρ — объемная плотность материала нити, g — ускорение свободного падения, S — площадь поперечного сечения нити.
На любой вырезанный кусочек будет действовать еще две силы натяжения со стороны соседних участков нити: T(L) и T(L + ΔL). Схематично это можно изобразить так:
Согласно второму закону Ньютона, условие равновесия участка можем записать в виде:
В проекциях на вертикальную ось Y и горизонтальную ось X можно получить:
Из первого уравнения получаем, что горизонтальная компонента силы натяжения нити T(L) всегда постоянна:
Второе уравнение, с учетом определения дифференциала, можно переписать в виде:
Из первого уравнения выразим силу натяжения нити и подставим во второе, получим:
Вспоминаем, что из геометрического смысла производной, тангенс угла наклона равен производной функции, описывающий кривую нити.
Теперь перейдем к связи y с переменной x, используя правило дифференцирования сложной функции и выражение для длины элементарного кусочка дуги, получим:
В итоге получаем:
Это является обобщенным дифференциальным уравнением цепной линии. Опять получаем уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка.
Делаем замену для понижения и упрощаем:
Получим уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируем это уравнение:
Помним, что если за начало координат положить нижнюю точку цепной линии, то касательная в этой точке горизонтальная, т.к. мы попадаем в экстремум траектории. Это накладывает условие, которые помогают найти константу интегрирования:
Уравнение можно переписать в показательной форме с помощью потенциирования:
Умножаем обе части на сопряженное:
Складываем два уравнения и получаем решение для z:
Делаем обратную замену и интегрируем:
С учетом граничных условий
А где используется в реальной жизни?
Если мы возьмем архитектуру, то арка в форме перевернутой цепной линии будет идеальной с точки зрения прочности. Это связано с тем, что переворачивая форму с минимальной потенциальной энергией, мы получаем арку, материал которой в случае однородности, будет испытывать только механические напряжения сжатия. При этом механические напряжения изгиба и кручения такая форма испытывать не будет.
Некоторые мосты и архитектурные памятники имеют форму цепной линии.
Ещё интересные математические факты
1. Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
2. Длина дуги от вершины до произвольной точки (x; y):
3. Радиус кривизны (попробуйте доказать самостоятельно):
4. Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:
5. Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия
6. Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.
7. Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах, ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги:
Все выводы формул в более удобном виде (PDF) вы сможете найти на моём канале в telegram Репетитор IT mentor
Понравилась статья ? Поставьте лайк, подпишитесь на канал! Вам не сложно, а мне очень приятно :)
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
