В этой статье попытаемся понять, что предсказали уравнения Ньютона. Алексей Семихатов по этому поводу говорит:
“Ньютон написал дифференциальное уравнение. Он его угадал. Из этого дифференциального уравнения и закона тяготения Ньютона следовали все законы Кеплера. Оттуда следовало, что планеты летают вокруг солнца. Вы спросите, откуда следует, что планеты летают по эллипсам, откуда следовал закон равных площадей, откуда следовали все 3 закона, которые Кеплер вывел эмпирически, положив на это всю свою жизнь.
Значит дифференциальные уравнения, которые написал Ньютон, равным образом подчиняли себе и луну, и яблоко. И непостижимым образом два столь разных объектах подчинены одному и тому же. Чему? Они подчинены тому, что Ньютон просто угадал. Такие законы и уравнения ни откуда не следуют. Их надо угадывать”.
Алексей Михайлович любит шокировать своих слушателей. Не пугайтесь этого: дифференциальное уравнение! Это обычный второй закон Ньютона, выраженный формулой F=ma. Я не совсем уверен, что этот закон Ньютон с каким-то усилием угадал. Возможно, он как-нибудь заметил, что если катнуть бочку слегка, то она прокатится одно расстояние, а если ее катнуть сильнее, то она прокатится дальше. Ну и так далее. В то время, как и сейчас, примеров данного соотношения силы и массы было много. Не следует приписывать Ньютону только угадывание. Он еще наблюдал и главное думал.
Кроме этого закона Ньютон еще угадал и закон всемирного тяготения. Вот его формула.
И тут он, может быть, не обошелся одним угадыванием. Он же прекрасно видел, что земля притягивает яблоко с одной силой, а корзину или мешок яблок с большей силой. Ну а луну с какой-то другой силой. В общем, похоже, и тут не обошлось без логических размышлений. Но какое же отношение имеют эти формулы к вопросу об эллипсах и другим законам Кеплера?
Доказательство законов Кеплера начинается с вот этой формулы: a=d2r/dt2. Как видите, ускорение из формулы F=ma записывается в дифференциальном виде. Величина ускорения a является двойной производной от пути. У Ньютона путь выражен в виде некого радиуса r, который предполагает некоторую кривизну. Могло ли это случится, если бы не законы Кеплера, а были бы только таблицы Браге? Похоже, что нет, ибо в таблицах планеты двигались вперед, назад и петлями. Их путь мог бы быть представлен только в таком виде: r=rвперед+rназад+rпетли. И какие были силы и ускорения на этих участках не совсем понятно. При таком положении дел, расчеты движения планет в таком виде, как они представлены наукой, становятся не возможными. И в этом случае математика терпит провал. Ей самой потребовалась кривизна, которую и подсказал Кеплер, и на основании этого математика просто уточнила и оформила ее в виде символов. Конечно, математика может развернуть эти символы во времени и предсказать, например, прошедшие и будущие затмения, но не она предсказала эллиптическое движение. Это сделал гений Кеплера.
И второй пример оказался не слишком удачный для предсказательной математики.