Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Задумывались ли Вы насколько много обобщений допускает математика, насколько широк и разнообразен математический зоопарк? Например, насколько "конечна" привычная еще со школы концепция целых чисел, можно ли её расширить еще ?
Не будем сильно вдаваться в историю, но напомним, что первыми числами в истории были числа натуральные, затем, еще в догреческие времена, появилось понятие чисел рациональных. Появление вскоре иррациональных чисел внесло разлад в стройные ряды математиков, которые к тому же еще несколько сотен лет сопротивлялись числам отрицательным.
Следующая революция произошла с появлением комплексных чисел, возникших как необходимость для решения кубических уравнений. Так вот, числа, о которых мы поговорим сегодня - это синтез привычных целых и мнимых чисел. Гауссовы целые числа стали одной из первых алгебраических структур с непривычными свойствами, стали предтечей к развитию абстрактной алгебры. Поехали!
Определение
Гауссовы целые числа - это комплексные числа, в которых действительная и мнимая часть являются целыми числами. Чисто геометрически, такие числа на плоскости образуют решетку:
Давайте немного поупражняемся с ними, чтобы определить свойства. Например, произведем обычные арифметические операции:
Стоп! Если сложение (да и вычитание) и умножение - операция замкнутая во множестве гауссовых целых чисел, то результатом деления могут быть и комплексные числа, у которых действительная и мнимая части рациональны!
Если добавить к сказанному, что 0 - это целое гауссово число (действительно, 0 = 0 +0i), и что среди гауссовых чисел соблюдаются свойства
- коммутативности сложения - например, (2-3i)+(3-2i)=(3-2i)+(2-3i);
- ассоциативности умножения и сложения (произвольного расставления скобок)- например,
(3-i)*((3+i)*(1-2i)) = ((3-i)*(3+i))*(1-2i))
(3-i)+((3+i)+(1-2i)) = ((3-i)+(3+i))+(1-2i))
и для каждого гауссова целого числа существует противоположное ( a + b = b + a = 0), то мы получим одну из самых популярных у математиков алгебраических структур - кольцо.
Более того, гауссовы целые числа имеют включают нейтральный элемент по умножению (1 =1 + 0i) и обладают свойством коммутативности по умножению - (1+2i) * (4+7i) = (4+7i)*(1+2i), что позволяет называть их коммутативным кольцом с единицей. Однако главное отличие в том, что на этом кольце нельзя ввести упорядоченность, т.е классическое сравнение гауссовых чисел бессмысленно.
У каждого гауссова числа Х есть три "брата", называемых ассоциативными к Х. Получаются они следующим образом:
Геометрически эти числа образуют такой повернутый квадрат:
Среди гауссовых чисел, естественно, есть и простые. По аналогии такими будут те числа, которые не имеют делителей кроме себя самого и единиц. Почему во множественном числе? А потому, что таких "единиц" среди целых гауссовых чисел целых четыре: 1,-1,i,-i. Каждое из гауссовых целых чисел делится нацело каждую из них.
Распределены простые гауссовы целые похожим на скатерть Улама образом:
И самый удивительный факт, на котором я хотел бы закончить: оказывается в кольце гауссовых чисел действует аналог основной теоремы арифметики!!!
Иначе говоря, каждое целое гауссово число допускает (условно) единственное разложение на простые сомножители. Первые отличия начинаются в тот момент, когда мы понимаем, что обычные простые числа не обязаны быть простыми целыми гауссовыми:
Ключевым для простых гауссовых чисел является понятие "нормы". Например, для числа a+bi (a и b не равны нулю), если норма a^2+b^2 - является простым числом в привычном нам смысле, то и целое гауссово число - простое:
А теперь поймем, почему я говорил про условную единственность разложения. Для этого домножим правую часть таким образом:
Получается, что число 4+6i допускает еще одно разложение на простые сомножители? Де-юре, да, но де-факто, разложение считается единственным с точностью до ассоциированных множителей.
Гауссовы целые числа таят еще много интересного и необычного, но на сегодня, я думаю, хватит. Спасибо за внимание!