"Разделить прямую линию в крайнем и среднем отношении значит разделить её на два таких отрезка, чтобы отношение всей линии к большему отрезку равнялось отношению большего отрезка к меньшему" - именно так звучало первое в математике определение золотого сечения, автором которого был великий Евклид
Если эта формулировка кажется запутанной, то вот более простой вариант:
"Целое должно относиться к большей части, как большая часть к меньшей части"
Теперь это можно легко отразить на рисунке:
Кстати, обозначение золотого сечения Ф соответствующей буквой - предание не такой уж и далекой старины. Американо-британский математик и инженер Марк Барр предложил использовать первую букву имени Фидий в честь архитектора Парфенона в Афинах.
Таким образом, золотое сечение Ф - это всего лишь корень простейшего квадратного уравнения. Давайте перепишем его немного другим образом и преобразуем:
И здесь мы видим старых знакомых уже из области элементарной арифметики - числа Фибоначчи - и даже можем записать простую формулу:
Как кроме этого связаны числа Фибоначчи и золотое сечение? Попробуем вычислить отношение двух соседних членов этой последовательности:
Как видно, частное неумолимо приближается к тому самому числу Фидия. Формально доказательство необходимо провести через пределы:
Другое замечательное свойство, которое проявляется в результате связи чисел Фибоначчи и золотого сечения - это возможность представления любого целого (в общем случае кольца чисел вида Z[Ф]) в виде последовательных сумм чисел Фидия в различных степенях:
В этом случае мы кодируем наличие каждой из степеней знаком "1" с учетом следующей таблицы:
Представление в Ф-позиционной системе счисления имеют и трансцендентные и иррациональные числа:
Удивительно, но и эта абстрактная система пригодилась в практической сфере - теории связи для преобразования алгоритма импульсно-кодовой модуляции (преобразования аналогового сигнала в цифровой с помощью последовательных дискретизации, квантования и кодирования). Для интересующихся кодером на основе золотого сечения - ссылка здесь.
- Спасибо за внимание!